第6讲无穷小量2009.doc

第6讲 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 教学内容 1. 无穷小量与无穷大量的概念2. 无穷小（大）量阶的比较，即高阶无穷小同阶无穷小等阶无穷小3. 等阶无穷小的替换定理．函数极限的归结原理， 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念，会对无穷小量与无穷大量进行比较；会利用等阶无穷小的替换定理计算某些极限；会求曲线的渐近线．对于较好的学生要求他们能理解函数极限的归结原理 教学重点及难点 教学重点：无穷小量等阶无穷小的替换定理无穷小量与无穷大量的阶数 教学方法及教材处理提示 (1)?要强调无穷小量是一个以零为极限的函数（变量），而不是一个很小很小的常数。 (2)本讲的重点是等价无穷小量及其替换定理，着重讲授常见的等价无穷小量及其它们在极限计算中的应用． (3)穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念是本讲的难点，要求较好的学生会熟练使用“ ”与“ ”进行运算． 作业布置 作业内容：教材 :1（3,4），2(2,3)，4(3),5（2,3），9. 讲授内容 一、无穷小量 与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义． 定义1 设在某内有定义．若，则称为当时的无穷小量． 若函数g在某内有界，则称g为当时的有界量． 类似地定义当以及时的无穷小量与有界量． 例如，与都是当时的无穷小量，是当时的无穷小量,而为时的无穷小量.又如时当时的有界量，是当时的有界量． 性质1．两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量． 性质2．无穷小量与有界量的乘积为无穷小量． 例如，当时，是无穷小量，为有界量，故由性质2即得，函数的图象如图3-6所示. 显然推出如下结论:是当时的无穷小量. 二、无穷小量阶的比较 无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢．为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断．设当时，与g均为无穷小量． 1．若，则称当时为g的高阶无穷小量,或称g为的低阶无穷小量，记作 . 特别，为当时的无穷小量记作 . 由于．故有 2．若存在正数K和L，使得在某上有则称与g为当时的同阶无穷小量．特别当时，与g必为同阶无穷小量． 例如，当时，与皆为无穷小量．由于,所以与为当时的同阶无穷小量．又如，当时，与都是无穷小量,由于它们之比的绝对值满足，所以与为当时的同阶无穷小量． 3．若，则称与时当时的等价无穷小量. 记作. 例如，，故有．又故有． 以上讨论了两个无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当时，和都是无穷小量，但它们的比，当时不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较. 定理3.12 设函数在内有定义，且有. （1）若，则；（2）若，则. 证：（1），（2）可类似地证明． 例1 求。 解：由于，，故有. 例2 利用等价无穷小量代换求极限. 解：由于，而 ，故有． 注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中，若因有，，而推出，则得到的是错误的结果． 三、无穷大量 定义2设函数在某内有定义．若对任给的，存在，使得当 时，有，则称函数当时有非正常极限，记作. 若换成“”或“”，则分别称当.时有非正常极限或记作: 或. 例3 证明 证：任给，要使，只要，因令则对一切，这就证明了． 例4 证明：当时， 证：任给（妨设)，要使，由对数函数的严格增性，只要，因此令，则对一切有．这就证得． 注1 无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数．如由例3知是当时的无穷大量，由例4知是当时的无穷大量． 注2 若为时的无穷大量，则易见为上的无界函数．但无界函数却不一定是无穷大量．如在上无界，因对任给的取这里正整数，则有 但 ，因若取数列则,而. 定理3.13 （i）设在内有定义且不等于0.若为时的无穷小量，则为时的无穷大量.（ii）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量. 四、曲线的渐近线 由平面解析几何知道，双曲线有两条渐近线（图3-7）.渐近线定义如下： 定义4：若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某定直线的距离趋于，则称直线为曲线的渐近线(图3—8)． 下面我们讨论曲线在什么条件下存在斜渐近线与垂直渐近线，以及怎样求 出渐近线方程. 现假设曲线有渐近线.如图3—8所示，曲线上动点到渐近线的距离为 由渐近线的定义，当时，既有或， 又由得到，由上面的讨论可知，函数有斜渐近线. 若函数满足（或，）.则按渐近线的定义可知，曲线有垂直于