第6讲空间向量及其运算(教师版).doc

第6讲　空间向量及其运算 【高考会这样考】 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 【复习指导】 空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证，重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的应用． 基础梳理 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律 (1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算 如下：＝＋＝a＋b；＝－＝a－b；＝λa(λR)． (2)运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则AOB叫做向量a与b的夹 角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交换律：a·b＝b·a；分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．基本定理 (1)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b≠0)，ab的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p＝ xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序 实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc. 一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 两个理解 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式： a＝λba∥b； 空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μR使λa＝μb. 若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”． 四种运算 空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习． 双基自测 1．已知向量a平面β，向量a所在直线为a，则(　　)．A．aβ B．aβ C．a交β于一点 D．aβ或aβ 2．下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的个数是(　　)．A．1 B．2 C．3 D．4 3．a＝λb(λ是实数)是a与b共线的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)． A．5 B．6 C．4 D．8 5．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 考向一　空间向量的线性运算 【例1】如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中G为A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，. [审题视点] 正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量． 解　＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c. ＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－) ＝＋＋＝a＋b＋c. (1)通过以上表示可以看出＝3即证明：A、G、C1三点共线．G为AC1的三分之一分点． (2)解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算． 【训练1】如右图，已知M、N分别为四面体ABCD的