第一章函数与极限模板.doc

常用符号简介 ：表示“任意”或“任意一个”或“所有”． ：表示“存在”或“能找到”． ：表示“推得”． ：表示“当且仅当”或“等价”或“充要条件”． 第一章 函数的极限 第一节 映射与函数 　　本节的许多内容是复习中学函数知识，下面只介绍几个新概念． 一、邻域的概念 1．邻域：以为中心的任意开区间称为的邻域，记为. 2．的邻域： ． 3．的去心邻域： ． 4．的左邻域：． 5．的右邻域：． 二、分段函数 在不同的范围内用不同的式子表示的函数． 如：符号函数． 三、函数的有界性 1．函数的上、下界 （1）在有上界有 （2）在有下界有 注：若在有上(下)界,则必有无穷多个上(下)界． ２．有界函数 在上有界满足为上的有界函数． 在上无界满足为上的无界函数． 注：在上有界在上既有上界，又有下界． 四、复合函数 如果函数的定义域为，函数的定义域为值域为若，则，通过中间变量，相应地得到唯一确定的一个值，称为与构成的复合函数，它的定义域为． 注：不是任意的两个函数都能构成复合函数． 如：就不能复合成 一般地，当的定义域与的值域的交集非空时，与才能复合成 【例】写出下列函数构成的复合函数 （1） （2） 提示：（1） （2） 【例】写出下列函数的复合过程 （1） （2） （3） 提示：（1） （2） （3） 注：写函数的复合过程时，要确保分解出来的每一个函数是简单函数，即基本初等函数；或常数、基本初等函数的和、差、积、商．（下个问题介绍什么是基本初等函数）． 五、初等函数 1.基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 2．初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合过程而得到的能用一个式子表示的函数称为初等函数. 作业：习题1-1 6 13 14 第二节 数列的极限 一、数列极限的定义 1．引入：数列当时，数列的极限是否存在？若存在，是多少？ 2．数列极限的定义 当时，有收敛． 注：（1）此定义称为定义，或称为数列极限的分析定义，它不能用来求极限，只能用来证明极限． （2）是用来刻画逼近于数的程度的小正数．越小，逼近于数的程度越高． 是用来刻画数列从第项以后所有的项与的逼近程度小于．与有关． （3）利用数列极限的定义来证明数是数列的极限时，重要的是对于任意给定的小正数要能够找到定义中所说的正整数N，但没有必要去求最小的N． 【例】　证明：（１）　 （２） （３）数列发散． 提示：（1）由 当时，有 从而 （２）由于 ，取． 当时，有 从而 （３）假设则取存在当时，这是不可能的．所以数列发散． 注：用数列极限的定义来证明时，常常将放大为，通过求出 将放大为的原则：（１）与比较更简化，易求；（２）不能放得过大，应满足． 【例】证明： 提示： 取 当时，有从而 （若放大为就错了） 二、数列极限的性质 定理1（极限的唯一性）：若数列的极限存在，则的极限唯一． 定理2（收敛数列的有界性）：若数列有极限，则数列有界． 注：（１）有界的数列不一定有极限．如发散． （２）若数列无界，则数列发散． 定理3（收敛数列的保号性）：若且（或），则有（或）． 三、收敛数列与其子数列间的关系 在无穷数列中，从左到右任意挑出无限多项，并按照它们在原数列中的次序逐个排列，得到的新数列称为原数列的子数列． 定理：设数列收敛于，则的任意子数列也收敛于． 注：（１）若有两个子数列收敛于不同的值，则发散．如 （２）一个发散的数列也可能有收敛的子数列． 如 【例】证明数列发散． 提示：子列另一个子列不存在． 即：数列发散． 作业：习题1-2 3 4 5 6 第三节 函数的极限 函数极限的定义 1．自变量趋于有限值时函数的极限 引入：表示当无限趋于2时，函数无限接近于3．在数学上怎样来刻画？ （１）时函数的极限的定义 当时， 有 注：①定义中的表示接近Ａ的程度，表示接近的程度．当越小时，越接近相应地越接近于Ａ． ②利用函数极限的定义来证明数Ａ是函数的极限时，重要的是对于任意给定的小正数要能够找到定义中所说的正数．与有关，找时不一定找最大的． 【例】证明：（１）　　（２） 提示：（１）限制 则． 此时 , 取，那么 当时，有从而 　　　（２）限制 此时即 从而取 那么, 当时， 有因此 （２）函数的单侧极限 ①左极限：当从的左方趋于时,函数无限逼近于常数,则称数为函数在处的左极限． 记为或即 有 ②右极限：当从的右方趋于,函数无限逼近于常数,则称数为函数在处的右极限． 记为或.即 ， 有 定理： 【例】设若存在，求 提示: 要使存在，则 从而 ２．自变量趋于无穷大时函数的极限 注：①表示无限增大；表示无限小或