第一章线性系统分析.doc

第一章 线性系统分析 1. 几个常用的非初等函数； 2. δ函数； 3. 二维傅里叶变换； 4. 卷积与相关； 5. 傅里叶变换的基本性质和有关定理； 6. 线性系统分析; 7. 二维光场分析。 本部分是整个课程的数学基础，其中有关数学公式的理解和众多定理的灵活运用将是难点 学习内容 　光学中几个常用的非初等函数 　　　（矩形函数、三角函数、阶跃函数、sinc函数等） 　δ函数 　　　（定义、性质、物理意义） 　卷积和相关 　　　（定义、运算、意义、功能） 几个常用的非初等函数 在科学技术及工程问题中，有一些参量的变化在整个区间内无法用一般的代数函数来描述，必须进行分区间定义，需要引入一些特殊函数. 学习目的：希望有关数学概念和运算的引入能密切结合光学现象，这 样有利于大家能较快地运用这些数学工具来处理光学问题。 光学系统的性质可以通过研究输入和输出的关系来了解。在近似的情况下，光学系统可以看成是线性的。 1.1.1 矩形函数 一维矩形函数定义 当函数值为1，x取其它值时函数值为0. 当自变量x代表时间变量时，光学中可以用它来描写照相机快门. 当自变量x代表空间变量时，可描述无限大不透明屏上的单缝的透过率. 即：一维矩形函数的物理意义是一个宽度为ａ的一个单缝。缝内透过率为１，缝外为0. 例： 　　它的物理意义是一个宽度为a的一个单缝。缝内透过率为１，缝外为0. 二维矩形函数定义 二维矩形函数可以用来描述一个无限大不透明屏上矩形孔的透过系数 1D:rect(x) 2D: rect(x)rect(y) 1.1.2 sinc函数 一维定义 式中 a0 函数在x=x0 处有最大值1, 以xo 对称. 零点位于 第一个正负零之间的宽度为主瓣宽度为2a. 当x0=0，a=1时，上式变为: 普通物理光学中，描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布. 其平方表示衍射光强。主瓣宽度与缝宽成反比。 二维定义 其中a, b0 的图像 用于描述矩形孔的夫琅禾费衍射图样 Sinc(x)函数与rect(x)函数的关系：Sinc(x)函数是矩形函数rect(x)的傅里叶变换 1.1.3 三角形函数 定义 图像：以原点为中心，底边长为2a高为1的等腰三角形 用于表示矩形光瞳的非相干传递函数OTF 1D: 2D: Sinc函数与三角形函数的关系：三角形函数的傅里叶变换是sinc函数的平方 1.1.4 符号函数 定义 图像 用于改变极性，正负号. 1.1.5 阶跃函数 定义 图像 用于表示开关或代表遮挡物的边界 符号函数与阶跃函数的关系： 1.1.6 圆柱函数 定义: 直角坐标： 极坐标： 图像 描述半径为a的圆孔衍射屏，孔内透过率为1，孔外为0 1.2 δ函数 δ函数是描述物理学中质量或能量在空间或时间上高度集中的各种现象，如点光源、点脉冲、点电荷等物理理想模型的数学工具。 δ函数不是普通函数,是广义函数，用来描写一种极限状态。 δ函数不是普通函数,无确定的数值对应关系。 δ函数是广义函数，其属性完全由它在积分中的作用表现出来。但可将δ函数与普通函数联系起来，用普通函数描述其性质。 1.2.1 δ函数的定义 1、类似普通函数的定义 一维冲激函数的定义 二维冲激函数的定义 或 2、普通函数序列极限形式的定义 对函数序列中的任一函数gn(x,y)来说，都有 常用的表现形式有： 3、广义函数形式的定义 一维 二维 其中， 在原点处连续。 不同形式的函数，只要它在积分中的作用与上式相同，就可认为它们与δ函数相同或称其为δ函数 1.2.2 δ函数的性质 1、 筛选性质 2、坐标缩放性