第一讲空间几何体的直观图与三视图.doc

第四篇 立几何体 第一章 空间几何体 第一讲 空间几何体的直观图与三视图 【考纲要求】： 1．了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征。 2．能画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。 3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 4．能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。 【要点整合】： 1.基本概念： (1)把物体在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影． (2)如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的平行投影．平面α叫做投影面，l叫做投影线． (3)把光从一点向外散射形成的投影叫做中心投影，一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投影． (4)通常，总是选择三个两两互相垂直的平面作为投影面． 一个投影面水平放置，叫做水平投影面，光线从几何体的上面向下面正投影，投射到这个平面内的图形叫做俯视图． 一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面；光线从几何体的前面向后面正投影，投射到这个平面内的图形叫做正（主）视图． 和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，光线从几何体的左面向右面正投影，投射到这个平面内的图形叫做侧（左）视图． 将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图． (5)用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． (6)斜二侧画法的规则是： ①在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. ②画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使 ∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，∠y′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面． ③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴、z′轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④已知图形中平行于x轴和z轴(或在x轴和z轴上)的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段，长度为原来的一半． ⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图． 2.基本性质： (1)平行投影的投影线是相互平行的 (2)中心投影的投射线是交于一点的 3.基本方法： (1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出． (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高． (3)多面体与旋转体的组合体画图时，应优先考虑多面体的对角面，注意旋转体轴截面与多面体几何量之间的联系． 4.易错警示： (1)平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线相交于一点． (2)直观图与原图形面积的关系讨论中，要牢记原来平行于y轴的变成夹角45°，长度减半． (3)直观图与三视图的相互转化，应牢记柱、锥、台、球的图形特征及斜二测画法规则和正投影性质，特别注意侧视图的投影方向． (4)画图时，被遮挡部分应画成虚线，和平面几何不同，添加的辅助线被遮挡的画成虚线，否则应画实线． 【例题精析】： 考点1：直观图和三视图的概念 例1. 如右图所示，一个边长为2的正三角形ABC，其斜二测直观图A′B′C′的面积为________． 解析：∵原正三角形中边长为2 ∴ 作则 ∴ 点评：不管是已知原几何图形研究其直观图，还是已知直观图研究原几何图形，关键是把握好斜二侧画法的规则。 变式1：如图所示是水平放置三角形的直观图，D是△ABC的BC边中点，AB、BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB、AD、AC中 (　　) A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD 例2.如图所示，正四面体ABCD中，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四个面上的射影不可能是(　　)在平面ABC上射影为B，在平面ACD上射影为D(Q射影不可能为C)，在平面ABD上射影为D(Q的射影不可能为B)，在平面BCD上射影为C(S射影不可能为B或C)，故在四个平面上射影都不可能为A. 3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该