第二章习题09.doc

有一晶体,平衡时体积为,原子间相互作用势为,如果相距为r的两原子互作用势为 证明 体积弹性模量为 求出体心立方结构惰性分子晶体的弹性模量. [解答] 设晶体共含有N个原子,则总能量为 由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少的多,因此可忽略它们之间的差异,于是上式简化为 设最近邻原子间的距离为R,则有 再令 得到 平衡时R=,则由已知条件,得 由平衡条件 得 由(1),(2)两式可解得 利用体积弹性模量公式 得 由于0,因此=,于是 一对惰性气体分子的互作用势能为 若令 则N个惰性气体分子的互作用势能可表示为 由平衡条件 可得 进一步得 代入 并取m=6,n=12,得 对体心立方晶体有 于是 2. 一维原子链,正负离子间距为,试证:马德隆常数为. [解答] 相距的两个离子间的互作用势能可表示成 , 设邻近原子间的距离为R,则有 , 则总的离子间的互作用势能 , 其中 为离子晶格的马德隆常数,式中+, -号分别为对应于参考离子相异和相同的离子. 任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子取正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子链,参考离子两边的离子是正负对称分布的,则有 , 利用下面的展开式 , 并令x=1,得 . 于是,一维离子链的马德隆常数为 5. 用埃夫琴方法计算CsCl型离子晶体的马德隆常数 （1）只计最近邻 （2）取八个晶胞 [解答] （1） （2）8个最近邻离子对马德隆常数的贡献：8 6个面心上离子对马德隆常数的贡献： 12个棱上离子对马德隆常数的贡献： 8个顶角离子对马德隆常数的贡献： 6.只计及最近邻间的排斥作用时，一离子晶体离子间的相互作用势为 求晶体平衡时，原子间总的互作用势。 [解答]设离子数为2N 总的互作用势 其中 ，Z为任一离子的最近邻数目， 设平衡时 得 平衡时原子间总的互作用势： 10. 两原子间的相互作用势为 , 当两原子构成一分子时,核间距为,解离能为4eV,求和. [解答] 当两原子构成一稳定分子即平衡时,其相互作用势能取极小值,于是有 , 由此得平衡时两原子间的距离为 , (1) 而平衡时的势能为 (2) 根据定义,解离能为物体全部解离成单个原子时所需要的能量,其值等于.已知解离能为4eV,因此得 (3) 再将r0=, 1eV=1.602×10-19 J代入(1),(3)两式,得 12．雷纳德－琼斯势为 ， 证明：r=1.12时，势能最小，且 ；当时，；说明和的物理意义。 [解答] 当时, 取最小值,由极值条件 得 于是有 . 再代入u的表示式得 . 当时,则有 , 由于是两分子间的结合能,所以即是两分子处于平衡时的结合能, 具有长度的量纲,它的意义又是, 是相互作用能为0时两分子间的间距.