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第二章 经典检测与估计理论 2、1 引言 假设：“信号存在” ：“信号不存在”，如果可能存在的信号不止一个，那么备选假设将不止一个。 信号检测问题：根据观测数据和判决准则对各种假设进行设计检验，判决哪个假设成立。 假设检验： 单次检测 先验概率：、 后验概率： 类条件分布概率密度函数： 令， 多次观测 2、2 二元假设检验 四种情况： 平均错误概率求总错误概率 ——；—— ：—— ； —— Bayes准则（最小风险准则）： 已知条件：先验概率：、，， 代价， ：风险（平均代价） 表示假设为真时，判决为的联系概率。 判决区域： Bayes准则就是在划分观测空间时，使最小： 用转移条件概率密度表示上述四种概率： 选择划分使最小： 定义似然比： 定义门限： ， 则有： 由于对数函数的单调性： Bayes准则的三个特例： 最小总错误概率准则： ， 总错误概率： 第一项中积分为虚警；第二项中积分为漏警。 例： 例：考虑二元通信，信源工作时间间隔为，每个间隔发射一个单位幅度的脉冲信号，我们在每个间隔对信号进行观测，并根据一次观测结果，判决信号是否存在。 设假设 “没有发射信号”，假设“发射单位幅度脉冲”，则有 其中，是均值为，方差为的高斯噪声。在两种假设下的概率密度为 似然比 似然比判决式为 判或 例：考虑二元通信问题。设 一次取样，观测时不变信号，信号幅度为，为零均值，方差为的正态随机变量，且有，求解最小错误概率判决表达式和检测性能。 解： 即： 得 检测性能：平均错误概率为 引入正态分布积分 ， 令变量：，设，代入、 从图中看出，，有 结论：在的条件下，三种错误概率相等，总错误概率是虚警概率和漏报概率的平均值。检测性能与信噪比有关，信号幅度强，噪声强度弱，则检测错误概率小。 最大后验概率准则： 由于一般是个连续分布，， 上式可表示为： 极大极小检验： 当先验概率未知或不精确时如何处理？ 首先研究一下风险与的关系，利用等式，，，可得： 最小平均代价是先验假设概率的函数（曲线），若先验概率未知，任选 一条直线 若选定（任选如，、），此时与是线性关系。 当选定的与（实际的）相等时，所对应的平均代价为最小平均代价，此时两曲线相切。大致找两端点或。 使最大可能的风险最小化，选最小风险曲线的最大值 极大极小方程： ，， 二、Neyman-Pearson准则： 实际情况是：先验概率和代价都未知，如雷达中，虚警概率 增加部分(2) 代价函数： 判决规则：似然比 恒虚警： ， 小结： 最佳Bayes和N-P检验都是处理观测R以获得似然比， 然后与门限比较，可用对数表示： 对于二元假设检验，不论观测空间的维数多少，判决空间总是 一维 次观测（例） 充分统计量： ①接收数据R的一个函数 ②包含了R的全部信息（不损失信息）（P28-32，2个例子） ③几何意义：在N维观测空间中选出一个最有效的坐标，包含了全部观测的信息 L若为充分统计量，=1， 则 似然比 ①观测矢量R的一个标量函数，一维非负 ②有随机性：R随机 ③似然比的分布函数：R可多维，一维 三、接收机工作特性（P39—51）： 虚警概率的计算： (发现概率)的计算： 曲线上各点斜率等于门限值，选用的准则不同，对应曲线不同工作点的斜率。 曲线说明与性质： ①：； ： ②信噪比，N——观测次数， ③接收机工作特性为上凸曲线 ④曲线斜率为： 例： ①如果确定信噪比，对准则，，工作点为，点斜率即为判决门限。 ②对于极大极小化准则， 为一直线，当已知信噪比时，其解为 。 得到： 补充： 序列检测 事先不规定观测时间，根据检测性能要求和观测数据，只要能作出判决，即随时终止观测，这种检测称序列检测，又称序元检测或假设的序列检测。 一般采用修正的准则，不用Bayes准则，给定和两个指标和两个门限和进行检验判决。 :观测次数，：观测时间 ：观测间隔 二元 简单二元 多次 ：， 如果取样顺序得到的，可用批处理法计算似然比； 如果取样是互相独立的，可用递推法计算似然比： 初始值： 假定限定错误概率： 其中，代入上式，得： 两边积分 似然比检验，为真，判，必有 同理，为真，判，必有 两边积分 所以每次测量计算一次： 增加部分（3）： 1、可以求出序列检测的平均取样数： 2、可以证明，序贯检测是有终止的，值不会总在、间徘徊 当观测次数趋于足够大时，需要继续观测的概率趋于，此时检测终止的概率则为。 3、实际处理中，可规定一个上限，到尚