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华中理工大学博士学位论文 第二章离散信号频谱的窗谱校正方法 ----基本理论 §2.1 引言 利用DFT可以对离散信号进行频谱分析，但是计算工作量相当大，因此，在快速算 法没用发明之前，DFT并没用多大的实际意义。直到1965年，Cooley-Tukey在《计算数 学》杂志上首先提出FFT算法之后， DFT才得到广泛的应用。这一快速算法的出现对数字 信号分析领域的发展起到了极大的推动作用。从此以后，它作为频谱分析的基础得到了 广泛的应用 [75,76,77,78] 。 由于计算机只能对信号的有限多个样本进行计算，信号的 FFT谱分析也只能在时域 信号的有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断(加矩形窗)而产生泄漏[61]， 使谱峰值减小，精度降低，求得的信号相位更是面目全非。在数字信号处理中，由 DFT 或 FFT得到的幅值谱是离散谱，是信号与窗函数频谱卷积后，按频率分辨率 Δfs = fs / N ( fs为信号采样频率，N为分析信号样本长度)等间隔频域抽样的结果（如图 21 所示）[78]。 A幅值 f 图2-1 频谱抽样的离散谱线 如果周期信号的频率正好 表2-1 离散频谱幅值、相位和频率误差表 落在某一谱线上，经FFT后得 矩形窗 Hanning窗 Hamming 窗 幅值误差（％） 0--36.4 0--15.3 0--18.3 相位误差（0） ±90 ±90 ±90 频率误差（Hz） ±05Δfs. ±05Δfs. ±05Δfs. 到的频率、幅值和相位是准确 的。在一般情况下，信号频率 落于两条相邻谱线之间，由于 谱线不在主瓣中心，由峰值谱 线反映的频率和幅值都不准 10  华中理工大学博士学位论文 确，相位误差更大。从理论上分析，加矩形窗时，最大误差可达 36 4 .%，即使加其他窗 时，也不能完全消除这一影响，在加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍 高达15 3 .%，相位误差将更大，表2-1是离散频谱只进行幅值恢复，不进行其他处理时幅 值、相位和频率误差 [141] 。 §2.2 单频谐波的频谱分析误差产生原因 无限长信号 x()t（如振动信号、噪声信号等）的频谱分析所采用的方法为对信号进 行截取，然后再对截取得到的有限长度信号进行频谱分析。窗函数 wt()的作用就相当于 对无限长的信号开一窗口，从窗口中取出一段数据，从而完成信号的截取。窗函数都是 选择实偶函数，并在时域上将窗函数的中心放于被分析的那段信号的中心。 加窗信号的傅氏变换为： Fx. ()] ()() 2π dt.............................................................(2.1) [ () twtxtwteTTjft=....∫(∞) .∞ 其中，wt T()由对称窗wt()在时间上平移T/2得到，即 T() t.T/) wt=w( 2 ................................................................................................(2.2) 设wt()的傅氏变换（如图2-2a） Fwt =W( f [( )] ) ......................................................................................................(2.3) 根据傅氏变换的奇偶性质，当wt()是实偶函数时，Wf ()此时也为实偶函数。又由 傅氏变换的时移特性可知（如图2-2b）， Fw t =Wfe () jfT π [ T( )] ...........................................................................................(2.4) 设有一周期信号 x()t=ACos(2π.f0 .t+.),则其傅氏变换结果为（如图2-2c）： A .j. Aj. () 0 .f0 ) ...............................................................(2.5) Xf =.e .δ(f +f) +.e .δ(f 22 根据卷积定理，加窗后的谐波信号 x()twt.T()的傅氏变换可表示为(图2-2d)： Xf () =Fxt w t T( )] =Fxt [()] Fw t ( )] T [() ..[ T （这里“*”表示卷积） AA .j