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第十一章 第七节 离散型随机变量及其分布列 题组一 离散型随机变量分布列的性质 1.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为： ξ －1 0 1 P 0.5 1－2q q2 则q等于(　　) A．1 B．1±C．1－ D．1＋ 解析：由分布列的性质得： ∴q＝1－. 答案：C 2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于(　　) A. B. C. D. 解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 答案：A 3．(2010·荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0. x5 0.10 0.1y 0.20 则丢失的两个数据依次为______________． 解析：由于0.20＋0.10＋0.5x＋0.10＋0.1y＋0.20＝1， 得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2,5. 答案：2,5 题组二 求离散型随机变量的分布列 4.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列． 解：随机变量X的取值为3,4,5,6. P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝； P(X＝6)＝＝. 故随机变量X的分布列为： X 3 4 5 6 P 5．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为，遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求： (1)ξ的分布列； (2)停车时最多已通过3个路口的概率． 解：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用Ak表示事件“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”， 则P(Ak)＝(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4独立． 故P(ξ＝0)＝P(1)＝； P(ξ＝1)＝P(A1·2)＝×＝； P(ξ＝2)＝P(A1·A2·3)＝()2＝； P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3·4)＝()3＝； P(ξ＝4)＝P(A1·A2·A3·A4)＝()4＝. 从而ξ有分布列： ξ 0 1 2 3 4 P (2)P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－＝. 即停车时最多已通过3个路口的概率为. 题组三 超几何分布问题 6.(2010·随州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为(　　) A. B. C. D. 解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球， 故P(X＝4)＝＝. 答案：C 7．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝. 答案：C 8．(2009·天津高考改编)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P (2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而 P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝， P(A3)＝P(X＝3)＝， ∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 题组四 离散型随机变量及其分布列的综合应用 9.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________. 解析：相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(