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第十一章（理） 第一节 离散型随机变量的分布列 题组一 离散型随机变量分布列的性质 1.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为： ξ －1 0 1 P 0.5 1－2q q2 则q等于(　　) A．1 B．1± C．1－ D．1＋ 解析：由分布列的性质得： ? ∴q＝1－. 答案：C 2．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜ξ≤4)等于(　　) A. B. C. D. 解析：P(2＜ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝. 答案：A 3．由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下： ξ 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则丢失的两个数据依次为______________． 解析：由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0.1y＋0.20＝1， 得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2,5. 答案：2,5 题组二 求离散型随机变量的分布列 4.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列． 解：随机变量ξ的取值为3,4,5,6. P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝； P(ξ＝6)＝＝. 故随机变量ξ的分布列为： ξ 3 4 5 6 P 5．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为，遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求： (1)ξ的分布列； (2)停车时最多已通过3个路口的概率． 解：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用Ak表示事件“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”， 则P(Ak)＝(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4独立． 故P(ξ＝0)＝P(1)＝； P(ξ＝1)＝P(A1·2)＝×＝； P(ξ＝2)＝P(A1·A2·3)＝()2＝； P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3·4)＝()3＝； P(ξ＝4)＝P(A1·A2·A3·A4)＝()4＝. 从而ξ有分布列： ξ 0 1 2 3 4 P (2)P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－＝. 即停车时最多已通过3个路口的概率为. 题组三 二项分布问题 6.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为________． 解析：A至少发生一次的概率为，则A的对立事件：事件A都不发生的概率为1－＝＝()4，所以，A在一次试验中出现的概率为1－＝. 答案： 7．(2009·辽宁高考)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比． (1)设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列； (2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)． 解：(1)依题意知ξ～B(4，)，即ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P (2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2. Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2. 依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1＋B1＋A1B1＋A2B2， 故所求的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28. 题组四 离散型随机变量及其分布列的综合应用 8.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，其分布列为P(ξ)，则P(ξ＝4)的值为(　　) A. B. C. D. 解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球， 故P(ξ＝4)＝＝. 答案：C 9．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P(ξ≤4)＝________. 解析：相应的基本事件空间有36个基本事件，其中ξ＝2对应(1,1)；ξ＝3对应(1,2)，(2,1)；ξ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)． 所以P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4) ＝＋＋＝. 答案： 10．(2010·成都模拟)一个袋中装有若干大小相同的黑球、白