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第十一章 无穷级数 第一节：常数项级数的概念和性质 求级数的指定项 （1）1，-1/2，1/3 （2）1，-1/3，-1/7 求级数的指定项 （1） （2） （3） C C C （1）发散 （2）收敛 （3）发散 （4）发散 （5） 收敛 （6）发散 第二节 1、发散 2、收敛、发散、收敛、k1、k1、k =1 3、C 4、D 5、B 6、A 7、C 8 因为 （2）因为 9 （1）因为 （2）因为 （3）因为 10 （1）因为 因为 第三节 1、R=1, (-1,1) 2、 3、 4、Ｃ ５、Ｃ ６、Ａ ７ （１） （２） 8 （1）先求收敛域.由 所以收敛半径R=1 （2）先求收敛域.由 得收敛半径R=1 第四节 1、（1） （2） (3) 2、解： 3、解： 第五节 解：因为当时，， 所以当时， 故 第六节 1、 2、 3、解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点处不连续，在其他点连续，从而由收敛定理知的傅里叶级数收敛，并且当 时级数收敛于 。 当时级数收敛于 ，计算傅立叶级数如下： 由 ， 得: 故的傅立叶展开式为： 证：由定积分的性质知：若是以为周期的周期函数， 则 的值与无关，且。 由题意知：均为以为周期的周期函数，从而均为以为周期的周期函数，从而 = 同理得：= 所以命题得证。 第七节 解：对所给函数进行周期为的周期延拓，即得一个周期为偶函数，按公式（10）有： 由 由于在上连续，所以 解：对函数进行奇延拓，按公式（8）有： 从而得： 当时，级数收敛于0。 第八节 1、（1）正弦级数：将进行奇延拓，按公式（4）计算延拓后的函数的傅里叶系数： 故： （2）余弦级数：将进行偶延拓，按公式（4）计算延拓后的函数的傅里叶系数： 故： 综合题 （1）当时，此时 当时，此时 从而当时，原级数发散。 当时，，且收敛。 故由比较审敛法的极限形式知原级数收敛。 （2）因为对 而收敛。 所以由比较审敛法知：原级数收敛。 2、（1）解： 故由比值审敛法知：原级数收敛。 （2） 故由比值审敛法知：原级数收敛。 略； 略； 将进行周期延拓，所得函数的傅里叶系数： 0+ 故的傅立叶展开式为： 7、（1）证：由，得： （） 。 从而。 同理可得：， （2）由，得： 从而：； 同理： 8、按公式有： 而在上，的间断点为 故： 9、解：是周期为的偶函数，按公式（6）有： 故： 第十一章测验题 1、（1） （2）； （3） （4） （5） C,D,A,C 3、(1) 故由根值审敛法知：原级数发散。 （2） 故由根值审敛法知：原级数发散。 （3）由 得：当时，原级数发散； 当时，原级数收敛，且为绝对收敛； 当时，原级数为，收敛 当时，原级数为，此时 当时，原级数收敛；当时，原级数发散。 （4）对， 而 从而收敛。 由比较审敛法知：原级数收敛。 （5）对，且收敛； 故由比较审敛法知原函数收敛，且为绝对收敛。 解：令，则原函数变为：； 由此上级数的收敛半径为1，且其收敛域为； 故原级数的收敛域为：，且。 解：原级数为：， ， 得：当时，级数发散； 当时，级数收敛，且为绝对收敛； 故收敛半径为，且其收敛域为。 解： 左边级数在处收敛，而在处连续，故展开式成立的区间为：。 7、略。