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第十五章：线性方程组 第一节： 消元法 设一般线性方程组为 则称矩阵 为方程组(1)的系数矩阵。 称矩阵 为方程组(1)的增广矩阵。 当时,齐次线性方程组 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵做初等行变换 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若，则方程组无解。 2) 若则方程组有解， 当 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。 当 举例说明消元法具体步骤： 例1：解线性方程组 解： 最后一行有可知方程组无解。 例2：解线性方程组 解： 对应的方程组为，即 所以一般解为（k为任意常数） 二. 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组有非零解 定理2：齐次线性方程组只有零解 推论：齐次线性方程组只有零解 即即系数矩阵A可逆。 二. 解的性质 性质：若是（2）的解，则仍然是（2）的解。（可推广至有限多个解） 解向量：每一组解都构成一个向量 3. 基础解系 设是的解，满足： 线性无关； 的任一解都可以由线性表示。 定理：设A是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。 注： (1) 的基础解系实际上就是解空间的一个基。 (2) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。 (3) 基（基础解系）不是唯一的。 (4) 当时，解空间是 当时，求得基础解系是则 是的解，称为通解。 4. 解的结构 的通解是 例3 : 求下列齐次方程组的通解。 解： 行最简形矩阵对应的方程组为 即 是自由未知量。 解法1：先求通解，再求基础解系 令 则即 为任意常数。 解法2：先求基础解系，再求通解。 由令，得 令，得则通解为为任意常数） 解： 所以只有零解。 三. 非齐次性线性方程组 1. 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组有解 并且，当时，有唯一解； 当时，有无穷多解。 2. 解的性质 性质：是的解，则是对应的齐次线性方程组的解。 3. 解的结构 若有解，则其通解为 其中是（1）的一个特解， 是（1）对应的齐次线性方程组的通解。 例4 : 求解非齐次方程组 解： 解法1： 令，则 为任意常数） 解法2： 令得，又原方程组对应的齐次方程组的通解是 令得基础解系 所以原方程组的通解是为任意常数） 例5：k取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解. 解： 法1： 第二节： 向量组的线性组合 一、n维向量及其线性运算 1．向量：个数构成的有序数组, 记作, 称为维行向量． –– 称为向量的第个分量 –– 称为实向量（下面主要讨论实向量） –– 称为复向量 零向量： 负向量： 2．线性运算：, 相等：若, 称． 加法： 数乘： 减法： 3．算律：, , (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, 或者, 称为维列向量． 零向量： 负向量： 二、向量组的线性组合 定义：线性组合：对维向量及, 若有数组使得 , 称为的线性组合, 或可由线性表示． 例1 , , , 判断可否由线性表示? 解 设，比较两端的对应分量可得 , 求得一组解为 于是有, 即可由线性表示． 　 [注] 取另一组解时, 有． 第三节： 向量组的线性相关性 1．线性相关：对维向量组, 若有数组不全为0, 使得 称向量组线性相关, 否则称为线性无关． 线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 称向量组线性无关, 否则称为线性相关． [注] 对于单个向量：若, 则线性相关； 若, 则线性无关． 例1 判断上一节例1中向量组的线性相关