第十八章隐函数定理及应用.doc

第十八章 隐函数定理及其应用 §18.1隐函数 方程能否在原点的某领域内确定隐函数或？ 解：对于方程有： （1）在原点某邻域内连续 （2） （3）在原点某邻域内连续 （4） 所以由隐函数存在唯一性定理18.1知，方程在原点某邻域内可确定隐函数。 方程在点（0，1，1）的某领域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？ 解：设则有 （1）在点（0，1，1）的某邻域内连续； （2）； （3）在点（0，1，1）邻域内连续； （4），根据隐函数存在唯一性定理 在点（0，1，1）的某邻域方程方程能确定函数 求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) 求 ； (2) 求 ； (3) ，求； (4) 求； (5) ，求； (6) 求 解：（1）方程两边对求导，得： 解上式得：=。 （2）方程两边对求导，得： 整理得： 解得：。 （3）令，则有： 故 ，。 （4）令 则 于是 （5）令 则 故： （6）将看作的函数，对两边关于求导得： 从上式解出有： 同理把看作的函数，对两边关于求导得： 解得： 再把看作的函数，对两边关于求导得： 解得：。 设，其中为由方程所确定的隐函数，求. 解：令则有： 则 由 得： 则 。 设，其中是由方程所确定的隐函数，求及. 解：令 则 §18.2 隐函数组 试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数组？ 解：根据定理18.4，令： 则有（1）在的某邻域内连续 （2） （3） 都在点邻域内连续。 （4） 由定理18.4，在点附近方程组能确定形式 的隐函数组 求下列方程组所确定的隐函数组的导数： (1) 求； (2) 求 (3) 求 解：（1）设方程组所确定的隐函数组为 对方程组两边关于求导得： 解得： 。 （2）方程组关于求偏导得： 解此方程组得： 同理方程组关于求偏导得： 解得： 。 （3）方程组两边关于求偏导得： 解得： 求下列函数组所确定的反函数组的偏导数; (1) 求 (2) 求 。 解：（1）方程组两边关于求偏导得： 解之得： 同理，函数组关于求偏导得： 解之得： （2）首先对方程组两边关于求导得： 解得： 再对方程两边关于求导得： 设函数由方程组 所定义的函数,求当时的。 解：由于 则 。 设以为新的自变量变换下列方程: (1) 设 (2) 设。 解：（1）将作为自变量，看作的复合函数，则有 （1） （2） 将（1）（2）代入方程得： 则方程变换为：。 （2）将作为自变量，看作的复合函数，则有 （1） （2） 将（1）（2）代入原方程化简得原方程化为： 设函数由方程组所确定, 求和。 解：对方程组分别关于、求偏导得： 解得 解得 §18.3 几何应用 求平面曲线上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长。 解：令 因为 所以曲线上任一点或处的切线方程为 即 分别令和，则得此切线在轴和轴上的截距分别为。 切线被坐标轴所截取线段长为 故这些切线被坐标轴截取的线段等长。 2.求下列曲线在所示点处的切线与法平面： (1),在点 (2)在点. 解(1):切点为 因为 所以切向量为 故切线方程为 即 (2)设,在点处有 所以切向量为,切线方程为 法平面方程为 或 3.求下列曲面在所示点处的切平面与法线; (1),在点;, (2),在点 解:(1)设,则有: 于是切平面方程为: 整理得: 法线方程为: (2)令,则: 则切平面方程为 整理得: 法线方程为: 整理得: 4.证明对任意常数,球面与锥面是正交的. 证明:设是球面与锥面交线上的任意一点,则球面在该点的法向量为,锥面在该点的法向量为,因为,所以,对任意的常数,球面与锥面正交. 5.求曲面的切平面,使它平行于平面. 解:设曲面上这点的切平面与平面平行,则,即,代入曲面方程得即 故在点和点处的切平面与所给平面平行.其切平面方程分别为. 6.求曲线上求出一点,使曲线在此点的切线平行于平面 解:设曲线在处的切线平行于平面,因为曲线在处的切向量为,所以,,即,解之得或故所求点为或 §18.4 条件极值 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1) ,若 (2) (3) 解 （1）令 解之得 由于当时，故函数必在唯一稳定处取得极小值，极小值. （2）设 令解方程组得. 由于当n个正数的积一定时，其