第四章线性方程组答案.doc

《线性代数》单元自测题 第四章 线性方程组 答案 填空题： 1．； 2．； 3．3； 4．. 多选题： 1．C； 2．A B C； 3．B； 4．C ； 三、计算题 1．解：把方程组的系数矩阵通过行初等变换化为最简梯矩阵 所以原方程组的同解方程组为 即 令，得到原方程组的基础解系为 ，， 故原方程组的全部解是，这里是任意常数。 2．解：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为最简梯矩阵 则原方程组的同解方程组为 令，得原方程组的特解为 原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为 其基础解系为 ， 于是原方程组的通解为 这里为任意常数。 3．解：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 当时，，所以线性方程组有解，此时增广矩阵化为 则原方程组的同解方程组为 令，得原方程组的特解为 原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为 其基础解系为 ， 于是原方程组的通解为 这里为任意常数。 4．解：设可由，，线性表示，其表达式为 ， 其中为组合系数，为未知。把，，和代入上式，得到关于的方程组 ⑴ 对上述方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 ⑴当时，，方程组⑴有唯一解，所以可由，，线性表示，且表示式唯一，组合系数即为方程组⑴的唯一解； ⑵当，即当时，继续化简方程组⑴的增广矩阵得 进一步，当，即时，，方程组⑴有无穷多解，相应地，可由，，线性表示，且表示式不唯一，下求出一般表示式。此时增广矩阵化为 则方程组⑴的同解方程组为 其中是自由变量，取，得到方程组⑴的全部解 ，，， 其中是任意常数，这个全部解就是相应的组合系数，所以由，，线性表示的一般表示式为 其中是任意常数。 四、证明题： 1. 证明：对方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 （依次将第1，2，3，4行加到第5行上） 于是 原方程组有解。 2. 证明：由可知，齐次线性方程组的基础解系包含个解向量。为证结论，只需证是的个解且线性无关。 先证是的个解。由于是的个解，所以有 ，，，……， 于是有 ………………………………………… 所以是的个解。 再证线性无关。设存在常数，使得 ， 整理可得 由于线性无关，故有不全为零，于是有不全为零，所以线性无关。 结论得证。 2 - -