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第四讲 泰勒级数 §8.4 泰勒级数 一、泰勒级数的定义 前面讨论了幂级数在其收敛域内收敛于和函数，但实际应用中，我们常遇到许多相反的问题．对已知函数，是否能确定一个幂级数，在其收敛域内以为和函数． 我们知道，幂级数被其系数唯一确定，现在问题是在什么范围内，满足什么条件，其展开式的系数能唯一确定，并收敛于． 定理1 设函数在区间内具有任意阶导数，且可展成幂级数，则幂级数的系数 ，， 其中 ． 定义1 设在的某邻域内具有任意阶导数，则以为系数的幂级数 称为在点处的泰勒级数．当时，幂级数 称为在点处的麦克劳林级数． 定理2 （泰勒中值定理）设在含有点的区间内，有一阶直到阶的连续导数，则当取区间内的任何值时，可以按的方幂展开为 其中　　　　 （在与之间） 上述公式称为函数的泰勒公式，余项称为拉格朗日型余项． 特别地，当时，泰勒公式为 ． 其中 ．或令； 则 ． 上面的公式称为麦克劳林公式． 二、函数的泰勒展开式 这里主要介绍如何把已知函数展成它的泰勒(Taylor)级数，并求其收敛区间． （一）直接展开法 所谓直接展开法是指利用定理，证明，进而写出展开式并求出其收敛域． 例1 试在处，展开为泰勒级数． 解 显然有各阶连续导数，且，于是 ． 　　，其中在到之间． ， 由于对指定的来说，，是非零有界变量．用正项级数比值判别法可知，对任意的级数都收敛，因而 ．由两边夹定理有于是，对任何实数，都有 例2 把展成麦克劳林级数． 解 ， 于是 其中在到之间． （二）间接展开法 用已知函数的泰勒级数展开式，通过适当的运算，而将给定函数简捷灵便地展开． 例3 试展开为麦克劳林级数． 解 注意到 ；那么就有 　　　　　． 例4 把在处展成泰勒级数． 解 因为 ． 于是，逐项积分可得， ． 例5 将在处展开成泰勒级数． 解 因为 ． 于是，逐项积分可得， 例6 展开为的幂级数． 解 因为 ；所以 　　　 　　　 ． 例7 求在处的泰勒展开式． 解 ． 例8 把展成的幂级数． 解 因为 注意到 ． 于是 　． ? 小结 1. 级数展开的充要条件; 2. 函数的间接展开，函数的直接展开。 AUTUMN APPLICATION 第 1 页 共 5 页