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级数例题讲解(一)
高 等 数 学(1)学 习 辅 导(12)
级数例题讲解(一)
(一)、填空题
1.若数项级数 收敛,则_________。
解:由级数收敛的必要条件知,。
应填:
2. 当 时,几何级数收敛;当________时, 发散。
解:由几何级数的性质可知,当时,收敛.发散.
应填:;
3. 级数 当________时收敛;当________时发散。
解:由p-级数的性质可知:,收敛;,发散。
应填:;
4. 级数是 级数.
解:级数收敛,级数发散,
由级数的性质可知是发散级数.
应填:发散
当________时,级数 收敛。
解:由莱布尼兹判别法知,,级数 收敛。
应填:
6. 幂级数 的收敛半径是_______,收敛区间是__________。
解:由几何级数的性质可知,,级数 收敛
,级数 发散
应填:; 。
二、单项选择题
1.若数项级数 收敛,Sn是此级数的部分和,则必有( )。
(A) (B)
(C)Sn有极限 (D)Sn是单调的
解: 由级数收敛的定义,知C真确
应选C
2. 下列级数中,( )收敛.
A.; B.;
C.; D.
解:由级数的收敛性可知A, B选项中的级数发散;C选项中的级数一般项不趋于0,由收敛的必要条件知其发散;满足莱布尼茨判别法的条件,所以收敛,故选项D正确.
应选D
3. 若条件( )成立,则级数 发散,其中Sn表示此级数的部分和。
(A) (B)
(C) (D) 不存在
解: 由级数收敛的必要条件知,D正确
应选D
4. 级数的和是( ).
A.; B. 2; C.; D. 1
解:由级数的性质可得
应选A
5. 当( )时几何级数 (a≠0)。
(A)q为任意常数 (B)q≠1
(C)q>0 (D)|q|<1
解:几何级数收敛的条件是 |q|<1,D真确。
应选D
6. 若,则( ).
A.; B.; C.; D.
解: ,由此得,
即。故选项A正确.
应选A
7. 下列级数中收敛的是( )。
(A) (B)
(C) (D)
解: 两个收敛级数的和仍收敛,
应选C
8. 下列命题正确的是( )。
(A)若 发散,则 都发散
(B)若 收敛,则 都收敛
(C)若 收敛,则 收敛 (C为常数)
(D)若 收敛,则 收敛
解: 由级数收敛的性质,D真确,其中(C)中级数附加条件C≠0,则是正确的。
应选D
9. 下列级数中收敛的是( )。
(A) (B)
(C) (D)
解: 由p-级数收敛的条件,D真确。
应选D
10. 下列级数中发散的是( )。
(A) (B)
(C) (D)
解: ,(通项极限不为零)。级数发散
应选C
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