计算方法上机1.doc

计算方法上机实验指导 一、非线性方程求解 （一）问题的指出 二分法 1．方法概要 假定在上连续，且在内仅有一实根取区间中点，若，则恰为其根，否则，根据是否成立，可判断出根所属的新的有根子区间或，为节省内存，仍称其为。运算重复进行，直到满足精度要求为止，即。式中为新的有根子区间的端点。 2．计算框图 Nowton迭代法 1．方法概要 为初始猜测，则由递推关系 产生逼近解的迭代序列，这个递推公式就是Newton法。当距较近时，很快收敛于。但当选择不当时，会导致发散。故我们事先规定迭代的最多次数。若超过这个次数，还不收敛，则停止迭代另选初值。 2．计算框图 （二）目的 掌握二分法与牛顿法的基本原理及应用 （三）要求 1．用二分法计算方程 在内的根的近似值 2．用二分法计算方程 在内的根的近似值。 3．用牛顿法求下列非线性方程的近似根。 ① ② ③ 4．用改进的牛顿法 计算方程 的近似根，并与要求3.中的③的结果进行比较。 二、Gauuss列主元消去法 （一）问题的提出 由地一般线性方程组在使用Gauss消去法求解时，从求解过程中可以清楚地看到，若，必须施以行交换的手续，才能使消去过程继续下去。有时既使，但其绝对值很小，由于舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定现象。因此，为使这种不稳定现象发生的可能性减至最小，在施行消去过程时每一步都要选主元素，即要寻找行，使 并将第行与第行交换，以使的当前值（即的数值）远大于0。 这种列主元消去法的主要步骤如下： 1．消元过程 对，做 1o 选主元，记 若，说明方程组系数矩阵奇异，则停止计算，否则进行2o。 2o 交换（增广矩阵）的两行元素 3o 计算 2．回代过程 对，计算 其计算框图如下： （二）目的 1．熟悉Gauss列主元消去法，编出实用程序。 2．认识选主元技术的重要性。 3．明确对于哪些系数矩阵，在求解过程中不需使用选主元技术。 （三）要求 1．编制程序，用Gauss列主元消去法求解线性方程组，并打印结果，其中 （1）， （2）， 2．与不选主元的Gauss消去法结果比较并分析原因。 三、Runge现象的产生和克服 （一）问题的提出 在给定个插值节点和相应的函数值以后构造次插值多项式的方法。从余项的表达式看出，插值多项式与被插函数逼近的程度是同分点的数目及位置有关的。能不能说，分点越多，插值多项式对函数的逼近程度越好呢？答案是否定的，在本世纪初Runge指出了这种多项式插值的缺点。 什么是Runge现象呢？ 例：给定函数 取等距节点，试建立插值多项式，并研究它与的误差。 插值多项式的次数为10，用拉格朗日插值公式有 其中 画出它们的图形，从图中可以看出，在区间内能较好地逼近，但在其他部分与的差异较大，越靠近端点，逼近的效果越差。事实上可以证明，对这个函数在区间内用个等距节点作插值多项式，当时只能在内收敛，而在这个区间之外是发散的，这一现象称为Runge现象。 从上面例子看到，在区间上给定等距插值节点，过这些插值节点作拉格朗日插值多项式，节点不断加密时，构造的插值多项式的次数也不断提高，但是，尽管被插值函数是连续的，高次插值多项式也不一定收敛到相应的被插值函数。 解决Runge现象有分段线性插值，三次样条插值等方法。 分段线性插值： 设在区间上，给定插值节点 和相应的函数值，求作一个插值函数，具有下面性质： （1） （2）在每个小区间上是线性函数。 插值函数叫做区间上对数据的分段线性插值函数。 三次样条插值 给定区间一个分划 若函数满足下述两条件： 1）在每个小区间上是3次多项式。 2）及其直到2阶导数在连续。则称是关于分划的三次样条函数。 （二）目的 1．深刻认识多项式插值的缺点； 2．明确插值的不收敛性怎样克服； 3．明确精度与节点、插值方法的关系。 （三）要求 给定函数，及节点，试用如下插值方法如何克服Runge现象 1．用多项式插值计算出下列插值 ，观察是否会产生Runge现象。 2．用下列方法进行计算，并且比较它们克服Runge现象的效果。 （1）分段线性插值 （2）三次样条函数插值（一），条件为： （3）三次样