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量子力学曾谨言习题解答第十一章
第十一章：量子跃迁
[1] 具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为，波长较长，求：
（1）跃迁选择定则。
（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。
（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。
（1）跃迁选择定则：
为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396）
（1）
式中应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，仅有一项
（2）
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元
（3）
式中，
~446~
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：
（4）
代入（3），利用波函数的正交归一化关系：
（5）
由此知道，对指定的初态来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态和初态的关系必需是：
这时 （6）
这时
因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。
（2）每秒钟从基态跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到：
~447~
[2]设有一带电的粒子，质量为，在宽度为的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长。
（1）求跃迁的选择定则。
（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。
（解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。
（1）跃迁选择定则：
按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端）
（1）
根据此式计算矩阵元：
利用不定积分公式：
(2)
~448~
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元，必需要是奇数。但这个规律也可以用别种方式叙述，当是奇数时
必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数
因此二者之中，一个是奇另一个是偶。
（2）跃迁速率：依前题公式（1）
（4）
偶数时，奇数时
（5）
粒子从基态，跃迁到任何一个偶数态的速率：
~449~
[3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向、电场沿z轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：
求时间充分长后，氢原子跃迁到2s，或2p态的几率。
（解）按照习惯表示法，氢原子的初态（k态）的波函数是：，末态（态）的波函数是或，它们的显式是如下：
1s态 （1）
2s态 （2）
2p态 （3a）
（3b）
（3c）
~450~
这些公式后面都要用来计算几率。从题意看来，原子所受的微扰是个随时间变化的函数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式§ 11-1公式（24）
（4）
微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：
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