电动力学（全套课件240P）.ppt

二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 1、直角坐标 （1）令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2）若 （3）若 ，与 无关。 注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件， 将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 柱坐标 讨论 ，令 有两个线性无关解 、 单值性要求 ， 只能取整数，令 若 ， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3．球坐标 ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数） 若 不依赖于 ，即 具有轴对称性，通解为 -----为勒让德函数 若 与 均无关， 具有球对称性， 通解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三．解题步骤 根据具体条件确定常数 选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限； 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解； （1）外边界条件： 电荷分布有限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定 （接地 ），或给定总电荷 Q，或给定 。 电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 （直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。 均匀场中， （2）内部边值关系：介质分界面上 一般讨论分界面无自由电荷的情况 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四．应用举例 1、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势 差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 。 x y O V Z 解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系 下板 ，设为参考点 （2）定性分析：因在 （常数），可考虑 与 无关。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 定常数： (5) 电场为均匀场 常数 电势： (3) 列出方程并给出解： 方程的解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一对接地半无限大平板，相距为 ，左端有一极 板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。 x y z V 解：（1）边界为平面，选直角坐标系；上、下两平板接地，取为参考点；且当 （2） 轴平行于平板，且 与 无关，可设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （3）确定常数 A，B，C，D，k ① ② 通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ③ ④ 两边同乘 并从0 → b积分： ∵ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ∴ （m = 奇数） （m = 偶数） 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 半径 a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体， 求导体柱外空间的电势和电场。 解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面 r = a 处，即 选柱坐标系。 对称性分析： ① 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布， 一定与 无关。 ② 柱外无电荷，电场线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿 方向，可认为 与z无关， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z o r θ 二、机械功与场能的变化关系 1、电磁场对运动带电体系所作的功 带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动，电荷密度为 ，运动速度为 在 间隔内，力对体元 所做元功： d t 电磁场对整个带电体单位时间所做功： 电磁场对物体所做功转化为物体的机械能或转化为热能（改变速度或焦耳热） 2、功与场量的关系 利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、能量密度与能流密度矢量 1、能量密度 带电体能量的增加率 电磁场能量 减少率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此w 为单位体积的能量 --- 能量密度。 单位体积能量的增加率 称为能流密度矢量（玻印亭矢量）它表示单位时间、垂直通过单位面积的能量，用来描述能量的传播。 均匀各项同性线性介质中的能量密度 机动 目录 上页 下页