圆锥曲线中最值和范围问题方法.docVIP

专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是C ) A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞) 2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ B ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是A ) A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B） (A) (B) (C) (D) 5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 . 6．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值. 【专家解答】（1）法：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组 的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是设点P的坐标为(x,y)则 消去参数k得4x2+y2-y=0 ③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0 解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以 ④ ⑤ ④—⑤得，所以 当时，有 ⑥ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧ 当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 （2）由点P的轨迹方程知所以 故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式((0。【范例1】已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cos(F1PF2的最小值为． （１）求动点P的轨迹方程； （２）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且，求实数(的取值范围． 讲解　(１)由题意c2=5．设|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理, 得 ． 又·， 当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|(|PF2| 取最大值， 此时cos(F1PF2取最小值，令， 解得a2=9，，∴b2=4，故所求P的轨迹方程为. （２）设N(s,t)，M(x,y)，则由，可得(x，y-3) =((s，t-3)， 故x=(s，y=3+((t-3). ∵M、N在动点P的轨迹上， 且， 消去s可得，解得， 又|t|(2，∴，解得， 故实数(的取值范围是． 【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值