《创新大课堂》高三人教数学(理)一轮复习课件：函数模型及其应用解析.ppt

第十节 函数模型及其应用 [主干知识梳理] 一、几种常见的函数模型 二、三种增长型函数模型的图象与性质 [基础自测自评] 1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 (　　) A．f(x)g(x)h(x)　　 B．g(x)f(x)h(x) C．g(x)h(x)f(x) D．f(x)h(x)g(x) B　[由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)．] 2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的 (　　) B　[由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选B.] 4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成______________________ ______________________________________________． 解析　依题意有y＝a(1－p%)x(0x≤m)． 答案　y＝a(1－p%)x(0x≤m) 5．有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计) [关键要点点拨] 2．解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数；的限制条件． [规律方法] 1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解． 2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决． 3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域． [跟踪训练] 1．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？ (1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)； (2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大． [规律方法] 1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数． 2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值． [跟踪训练] 2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x(吨)． (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解析　(1)当甲的用水量不超过4吨时， 即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨， y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x； 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨， 即3x≤4，且5x4时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x4时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ [规律方法] 增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解． [跟踪训练] 3．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间． (2014·长沙十二校