平截面假设课程.doc

梁弯曲的平截面假设 陈洲泉 一?平截面假设的数学理论: (1)考虑梁的纯弯曲问题:(空间梁) (图 1) 如(图1)所示只作用弯矩My的纯弯曲梁,将其换分为等大小的单元? (图2) 由于梁两端作用荷载的对称性,对于每个单元而言,其变形都是相同的?若要保证每个单元都具有相同的变形,则只有要求横截面保持为平面才有可能? 而且,图(1)所示问题的由弹性力学方法解得的位移函数为: (1) 式中,u ,v ,w分别为沿x ,y ,z方向的位移,为泊松比,R为曲率半径? 现任取一个梁的横截面,这个横截面上的各点在梁变形以后的新坐标是为: 这里的表示u在处的位移值,将(1)式代入得: (2) 显然这是一个与Oy轴平行的平面方程,截面上的各点在梁变形以后仍然都落在这个平面上? (2)端部受集中力的悬臂梁问题:(平面问题处理) (图3) 该问题的弹性力学解得的位移函数为: (3) 式中E为弹性模量,I为截面惯性矩? 再取变形前某个横截面的方程为,变形后,对于截面上某点的坐标为 即 可见这是一个三次曲面,那么变形后横截面不在保持为平面了? 二?数值分析: 从前面的数学推导来看,判定一个截面在变形后是否保持为平面,是通过考察面沿轴向方向位移函数来确定的,只考察了一个方向?这样就给我们留下了一个疑问,即垂直于轴向方向的位移函数会影响平面的形式吗? 于是我们跟踪变形前的一系列点,根据点的分布情况,进行数值拟合,然后来确定变形后的平面形式? 1?不妨考虑问题2,取平面上的一系列点,变形后对应点的坐标为: 注意:以下数值求解图像的坐标形式变为下图形式:(与原问题等效) (图4) 现在取这个平面进行分析,将梁高平分100等分,跟踪这101个等分点的位移变化?设荷载P=1000kN,杨氏模量E=2e11,泊松比v=0.3,梁的长L=100,梁高10,梁宽b=1? (图5) 红线代表处的未变形的截面? 蓝线代表不考虑竖向位移时的截面形式, 黑线代表考虑竖向位移时的截面形式, 当X=h处平面变形为: (图6) 当x=2h处平面变形为: (图7) 当x=L/2处平面的变形为: (图8) 当x=L-h处平面的变形为: (图9) 从图(5)到图(9)的变化我们可以得到如下三个现象: (1)蓝线和黑线随着x的增加,其与红线的夹角越来越小? (2)黑线和蓝线之间的距离也越来越近? (3)蓝线和黑线都表现为斜线形式,截面弯曲不明显? 三种现象分别表明: 离固支端越远则截面的转角越大? 变形后的真实截面与不考虑竖向位移的截面并不重合,但随着离固支端的距离越来越近,两截面也越来越趋近? 截面上述几何形状和荷载条件下表现为小变形,线弹性,近似为平截面? 2?再考虑一种情况:取梁长L=10,梁高h=10,考察x=0处的截面: (图10) 从图上可以看出截面的水平位移的数量级为,远小于L=100,h=10的情况?而截面形式不再是斜直线而是曲线,截面不再是平截面? 3?考虑(图5)到(图10)中的黑色数据点,算出相邻两点之间的斜率,然后统计所有斜率的均方差,数据如下表? X=0 X=10 X=20 X=50 X=90 均方差(S2) 0.57594 0.58768 0.62515 1.02673 16.52316 L=10,h=10 1.93676e+004 6.8768e+004 (表1) 易知如果数据点完全满足线性分布的话,那么这些数据的均方差S2=0,所以可知数据的均方差越小,则数据的线性性质越好: 1?通过比较数据可以看出离悬臂梁的固支端越远,梁的截面曲线的线性性质越好,即平截面性质越好?而截面的弯曲性质随着离固支端距离越来越近而增强,剪切力对截面的影响增强? 2?同时,当梁