函数值域的求法课程.doc

1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到? 例1. 求函数的值域? 解:∵ ∴ 显然函数的值域是: 例2. 求函数的值域? 解:∵ 故函数的值域是: 2.单调性法:利用函数的单调性求最值 例3求函数的值域 解:由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:配方得:由复合函数的单调性(同增异减)知: 3.判别式法:对于某些特殊形式的函数的最值问题,经过适当变形后,使函数出现在一个有实根的一元二次方程的系数中,然后利用一元二次方程有实根的充要条件来求出的最值 例4求函数的最值.解:由得 , 因为,所以,即,解得.因此的最大值是,最小值是-2.例5 求函数y=的值域 解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)+（y-1）x=0 （1）当y≠1时，xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1)≥0 解得：≤y≤ （2）当y=1，时，x=0,而1[,] 故函数的值域为[，] 配方法：利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a≠0)的函数的值域与最值。 例求函数 y = x2 - 6x + 2的值域。 解法一：∵　y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7 　　　又∵( x - 3)2≥0 　　　　∴( x - 3)2－7≥－7 　　　　∴函数的值域是［－7，＋∞）这里用到了配方法求函数的值域解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)＝－7　　∴函数的值域是［－7，＋∞） 这里运用了二次函数的图象和性质求值域 求函数的值域解：不妨设:配方得:利用二次函数的相关知识得,从而得出：。 说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：。 换元法适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。 求函数的值域。 解：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即： 点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：= ＞0，＞0 解得：-1＜y＜1。 故所求函数的值域为(-1,1). 消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数化为在给定区间上求一元函数的最值问题。 例已知、且，求的值域。 解：由得，即。 当时，取得最大值；当时，取得最小值0。即的值域为 . 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例11. 求函数值域。 解：由原函数式可得： 则其反函数为：，其定义域为： 故所求函数的值域为：yu 9. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例12. 求函数的值域。 解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时， 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例13. 求函数的值域。 解：原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，， 故所求函数的值域为 例14. 求函数的值域。 解：将函数变形为： 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。 即： 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。 Acknowledgments The authors would like to thank Johns Hopkins University for the TC-1 cells. This work was suppo