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数学建模 对于一个现实对象,为了一个特定目的, 根据其内在规律,作出必要的简化假设, 运用适当的数学工具,得到的一个数学结构? 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析: 通常 ~ 三只脚着地,放稳 ~ 四只脚着地 模型假设:1.四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形; 2.地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面; 3.地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地? 模型构成:用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性, 用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地 椅脚与地面距离为零, 距离是?的函数 (四个距离(四只脚)——两个距离(正方形对称性)) A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(?) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(?) 地面为连续曲面—f(?) , g(?)是连续函数 椅子在任意位置至少三只脚着地—对任意?, f(?), g(?)至少一个为0 数学问题 已知: f(?) , g(?)是连续函数 ; 对任意?, f(?) ? g(?)=0 ; 且 g(0)=0, f(0) 0. 证明:存在?0,使f(?0) = g(?0) = 0. 模型求解 将椅子旋转900,对角线AC和BD互换? 由g(0)=0, f(0) 0 ,知f(?/2)=0 , g(?/2)0. 令h(?)= f(?)–g(?), 则h(0)0和h(?/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在?0 , 使h(?0)=0, 即f(?0) = g(?0) . 因为f(?) ? g(?)=0, 所以f(?0) = g(?0) = 0. 商人们怎样安全过河 问题分析 决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河. 模型构成 xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2,? ? sk=(xk , yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合 S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0,1,2 vk~第k次渡船上的随从数 k=1,2,? ? dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v)? u+v=1, 2} ~允许决策集合 sk+1=sk ~状态转移律 求dk?D(k=1,2, ?n), 使sk?S, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0). 模型求解 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移 d1, ?,d11给出安全渡河方案 1.4 数学建模的方法和步骤 方法:机理分析,测试分析,二者结合 步骤:模型准备,模型假设,模型构成,模型检验,模型分析,模型求解,模型应用 2.1 公平的席位分配 2.9 量纲分析 例: 航船阻力的物理模拟 存贮模型 已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费 每日每件1元?试安排该产品的生产计划,即多少天生产 一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小? 问题分析与思考 .周期短,产量小—贮存费少,准备费多 .周期长,产量大—准备费少,贮存费多 —存在最佳的周期和产量,使总费用(二者之和)最小 目标函数——每天总费用的平均值 模 型 假 设 1. 产品每天的需求量为常数 r; 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2; 3. T天生产一次(周期), 每次生产Q件,当贮存量 为零时,Q件产品立即到来(生产时间不计); 4. 为方便起见,时间和产量都作为连续量处理? 建 模 目 的 设 r, c1, c2 已知,求T, Q 使每天总费用的平均值最小? 4.1 奶制品的生产与销售 例1 加工奶制品的生产计划 1桶牛奶 每天:50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划,使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶,买吗?若买,每天最多买多少? 可聘用临时工人,付出的工资最多是每小时几元? . A1的获利增加到 30元/公斤,应否改变生产计划? 决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 目标函数 获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利