分步步长法和多重网格法_实验介绍.doc

微分方程数值解 姓名： 班级： 一．二维抛物方程 分布步长法 实验用的二维热传导 是方程是： 它满足书中 的要求，这里。以为初始时刻，分别用ADI,LOD,对称LOD（记为symLOD）进行算法设计，求在时刻的数值解，并与精确解做比较。 实验过程： 1.t=1时刻原始图像 当x,y 方向上的网格数是160，时间t方向上的网格数是40时，t=1时刻的原始图像为 2．ADI法恢复的图像 当x,y 方向上的网格数是160，时间t方向上的网格数是40时，ADI法所绘t=1时刻图像为 3．LOD法恢复图像 当x,y 方向上的网格数是160，时间t方向上的网格数是40时，LOD法所绘t=1时刻图像为 4．对称LOD法（记为symLOD）恢复图像 当x,y 方向上的网格数是160，时间t方向上的网格数是40时，symLOD法所绘t=1时刻图像为 5.x,y方向上的网格数和误差关系 t=40固定,x,y方向的的网格数分别取 [10,50,100,250,500] 三者的误差的二范数分别为（见error2.m） ADI=[8.730504221745552e-010, 6.029451734592973e-009, 1.265923756496139e-008, 3.206705449439820e-008, 6.425372124435197e-008]; LOD=[8.730504221745788e-010, 6.029451734600921e-009, 1.265923756507861e-008, 3.206705449886893e-008, 6.425372131563230e-008]; SymLOD=[8.730502288715592e-010, 6.029452708815150e-009, 1.265923951388676e-008, 3.206705936704847e-008, 6.425373098974900e-008]; 所绘图像为： 分析：可见随着x,y方向网格的增加，误差的二范数也会增加 6.三者的所有误差的绝对值的最大值为（error2.m） 分析：可见随着x,y方向网格的增加，误差的最大值也会增加，但增速会逐渐下降 7. t方向上的网格数和误差关系 假设xy方向的网格数等于50固定,t方向的的网格数分别取 [10,20,40,80,120] 三者的误差的最大值为分别为（error2.m） ADI_t=[ 2.266341936922816e-009, 8.979947492920082e-010, 2.411780846299275e-010, 4.923637720641268e-011, 1.236968076769294e-011]; LOD_t=[ 2.266341949441886e-009, 8.979947802649479e-010, 2.411780814669497e-010, 4.923637876052127e-011, 1.236968177113209e-011]; SymLOD_t=[ 2.266341965755063e-009, 8.979947934123040e-010, 2.411781118470867e-010, 4.923640158922677e-011, 1.236970518228895e-011]; 其关系所绘图像为： 分析：在x,y网格数固定下，可见随着t在[0,1]的网格数的增加，误差呈下降趋势 8.整体误差图为： 二，多重网格法 目标函数 本实验选用函数 ，则 并假定网格N=4为网格的第0层。 1.二重网格法 当层数l=1,r=1.时，最大迭代次数imax与对应的误差分析（见error3.m） imax=[5,10,25,30,50,75,100,150]; 我们有 error=[1.212709055795178e+002, 89.861968418392394, 52.308084876858402, 43.566264972466115，21.618767396679686, 12.936352097394433, 12.946216021345549, 12.950271747085367]; 通过绘图可得 可见随着次数的增加，误差逐渐减小 次数imax等于5时的数值解和真实解 次数imax等于150时的数值解和真实解 可见二重网格迭代次数的增加误差是减小的 2.多重网格法 按照书中所讲思想进行编程 运行mainf1.m（文件夹多重网格中）,在命令窗口输入所需的层数l和迭代次数r 则输出相应的层数和运行次数所产生的数值解和误差 误差分析； （1）当层数l=3，分别计算次数r=[1,2,3,4,5]时的误差 通过运行程序可