(三)圆锥曲线中的证明问题.doc

热点三 圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． [例]．　(2013·全国高考)已知双曲线C：－＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为. (1)求a，b； (2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列． ——————————规律·总结———————————————————————圆锥曲线中的证明问题的解决方法解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 常用的证明方法有：(1)证A、B、C三点共线，可证kAB＝kAC或＝λ； (2)证直线MAMB，可证kMA·kMB＝－1或·＝0； (3)证|AB|＝|AC|，可证A点在线段BC的垂直平分线上． [例]．如图，F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q. (1)若点Q的坐标为(4,4)，求椭圆C的方程； (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点． 经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点． （1）求椭圆S的方程； （2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k． ①若直线PA平分线段MN，求k的值； ②对任意，求证：． 2.过双曲线2x2(y2=1上一点A(1,1)作两条动弦AB, AC,且直线AB, AC的斜率的乘积为3. (1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由. (2)证明直线BC过定点. 3.已知双曲线：，左右焦点分别为，离心率为点是线上任意一点，在双曲线上，且满足． （1）求的值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； 点的纵坐标为，过作动直线与交于不同点，在线段上取，的点满足，证明点恒在一定直线上． P A B C x y O M N 1