03导数及其应用(共36页).doc

第三编 导数及其应用 §3.1 导数的概念及运算 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为 . 答案 Δx+2 2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f′(x)= . 答案 cos2x+cosx 3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）. ①af(b)＞bf(a) ②af(a)＞bf(b) ③af(a)＜bf(b) ④af(b)＜bf(a) 答案 ①③④ 4.（2008·辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 . 答案 5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= . 答案 2 例1 求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 解 ∵Δy= = =， ∴=. 例2 求下列各函数的导数： （1）y=； （2）y=（x+1）（x+2）（x+3）； （3）y=-sin(1-2cos2)； （4）y=+. 解 （1）∵y==x+x3+， ∴y′=（x）′+(x3)′+(x-2sinx)′ =-x+3x2-2x-3sinx+x-2cosx. (2)方法一 y=（x2+3x+2）（x+3） =x3+6x2+11x+6， ∴y′=3x2+12x+11. 方法二 y′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′ =［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2） =（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2） =（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2） =3x2+12x+11. （3）∵y=-sin(-cos)=sinx， ∴y′=(sinx) ′= （sinx）′=cosx. （4）y=+==， ∴y′=()′==. 例3 求下列函数的导数： （1）y=; (2)y=sin2(2x+); (3)y=x. 解 （1）设u=1-3x,y=u-4. 则y x′=y u′·ux′=-4u-5·（-3）=. (2)设y=u2,u=sinv,v =2x+, 则y x′=y u′·u v′·v x′=2u·cosv·2 =4sin·cos =2sin. (3)y′=(x)′ =x′·+x·（)′ =+=. 例4 （14分）已知曲线y=x3+. (1)求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y′=x2, ∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4. 3分 ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 6分 （2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点 A(x0，x03+)，则切线的斜率 k=y′|=x02. 8分 ∴切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0), 即y=x02·x-x03+. 10分 ∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02-x03+, 即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0, ∴x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 14分 1.求y=在x=x0处的导数. 解 = = =， 当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于, ∴f′(x0)= . 2.求y=tanx的导数. 解 y′== ==. 3.设函数f（x）=cos（x+）（0＜＜）.若f(x)+f′(x)是奇函数,则= . 答案 4.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= . 答案 2或- 一、填空题 1.若f′（x0）=2，则当k无限趋近于0时= . 答案 -1 2.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= . 答案 -2 3.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 . 答案 4.曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 . 答案 5x+y-2=0 5.（2009·徐州六县一区联考）若曲线f(x)=x4-x在点P处的