11.6二项式系数的性质.ppt

杨辉三角 杨辉三角 （3）各二项式系数的和 * * * * * * * 《九章算术》 杨辉 《详解九章算法》中记载的表 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的 《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右面的表： 这个公式表示的定理叫做___________,公式右边的多项式叫做(a+b)n的 ,其中 (r=0,1,2,……,n)叫做 ， 叫做二项展开式的通项,用Tr+1 表示,该项是指展开式的第 项,展开式共有 个项. 二项展开式 二项式系数 r+1 n+1 二项式定理 （r=0,1,2,……,n） 二项式定理 练习:求(1+2x)7的展开式的第3项的系数； 与第3项的二项式系数； 84 21 (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 观察并找出规律 (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2 (a+b)6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角：表中“1”以外的每一 个数都等于它肩上的两个数之和 二项式系数的函数观点 展开式的二项式系数依次是: 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是: 当n=6时,其图象是7个孤立点 定义域{0,1,2, … ,n} （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴: 2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等, 练一练 1、在(a＋b)６展开式中,与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 则n=______ B 6 问题:一般地,当r满足什么范围时,后一项Cnr比前一项Cnr-1要大? 分析:以上问题即为：当CnrCnr-1时,求r的范围? （2）增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定． 当 时二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.那么,如何确定中间项呢? f（r） r n O 6 15 20 1 20 10 30 35 O n n为奇数 f（r） 当n是偶数时,中间的一项 取得最大值; 当n是奇数时,中间的两项 和 相等,且同时取得最大值. n为偶数 (2) 增减性与最大值。 1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 . 练一练 2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数 最大。 解: 第8、9项的二项式系数 即6435最大。 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式． 赋值法 例1、求 的展开式中二项式系数最大的项. 解:已知二项式幂指数是偶数8,展开式共有9项,依二项式系数性质,中间一项的二项式系数最大,所以要求的系数最大项为第5项,即: 例2、证明:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即证： ＝２n-1 证明（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ … + Cnran-rbr+…+Cnnbn 令a=1,b=-1得 特例法 赋值法 例3、已知 展开式中的第5项、第6项、第7项系数成等差数列,求展开式中: ①二项式系数最大的项; ②各项系数和. ①由已知条件得:n=14,最大项为第8项 ②令x=1,可得各项系数和 变式:求 的展开式中: ①二项式系数最大的项;②各项系数和. 例4、如果 求: ② ① 可分别令x=0,1,-1 * *