12.数列有界性问题的研究.doc

专题：数列有界性问题的研究 一、问题提出 问题1：设数列{an}满足：，则a1的值大于20的概率为___________. 数列的生成方式 问题2：已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_________ 二、思考探究 探究1：设数列满足：是整数，且是关于的方程（1）若，且时，，求数列的前100项和S100； （2）若，，且，求数列的通项公式．解：（1）由an+1－an是关于x的方程x2＋( an+1－2)x－2an+1＝0的根， 可得：， 所以对一切的正整数，或， 若a1＝4，且n≥2时，4≤an≤8，则数列｛an｝为： 所以，数列{an}的前100项和； （2）若a1＝－8，根据an（nN*）是整数，an＜an＋1（nN*），且或 可知，数列的前6项是：或或或或 因为a6＝1，所以数列的前6项只能是且时，所以，数列{an}的通项公式是： 探究2：在数列{an}中，已知a1=1,且对于每个n∈N+，a4n－3，a4n－2，a4n－1成等差数列，其公差为2，a4n－1， a4n，a4n+1成等比数列，公比为． （1）令bn =a4n－1( n∈N+)，求数列{bn}的通项公式； （2）是否存在常数M，对任意正整数n，an≤M恒成立？若存在求M的最小值，若不存在，请说明理由． 解：(1) 由题设可知：b1=5，b2=，b3=，…，一般地，令bn=． 因为a4n－1，a4n，a4n+1成等比数列，公比为，所以a4n+1=，又因为a4n+1，a4n+2，a4n+3成 等差数列公差为2，所以bn+1=a4n+3=+4=+4． ① ①式两边同加上－得 bn+1－= (bn－)，所以{bn－}成等比数列公比为，首项b1－=－，所以bn－=－×()n－1．所以bn=－×()n－1． (2)因为bn+1－bn=()n0，所以数列{bn}是严格单调递增由于对每个正整数n，a4n－1是 a4n－3，a4n－2，a4n－1 ，a4n，a4n+1中的最大数，故得当k≤4n+1时，ak≤ a4n－1 而a4n－1= bn=－×()n－1，所以对每个正整数n，an． 又若c是小于的任意一数，令a=－c0，则当nlog4+1时，a4n－1c． c不是数列{an}上界． 综上所述，存在常数M，对任意正整数n，an≤M恒成立，且M 的最小值为． 三、真题链接 1.（2012年江苏高考题）已知各项均为正数的两个数列和满足：． （1）设，求证：数列是等差数列； （2）设，且是等比数列，求和的值． ，， ， 所以数列是的等差数列2）,从而 ，设等比数列公比，由知．下证． 若，则，故当时，与＊矛盾， 若，则，故当时，与＊矛盾， 综上，故，，， 公比为的等比数列，若，则．于是，又由得，中至少有两项相同矛盾，，从而， 2.（2010年江苏高考题）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列. ①求数列的通项公式（用表示） ②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为的各项均为正整数，其前项和为．且，则______；______. 5； 2. 数列满足，且若对于任意的，总有成立，则a的值为 . 或1. 3. 设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，． （1）当a（－∞，－2）时，求证：M； （2）当a（0，］时，求证：aM； （3）当a（，＋∞）时，元素a与集合M的关系并证明你的结论．），则，． ………………………………………2分 （2） 当 时，（）． 事实上，〔〕当时，． 设时成立（为某整数）， 则〔〕对，． 由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．…………………………6分 （3） 当时，．证明如下： 对于任意，，且． 对于任意，， 则． 所以，． 当时，，即，因此． 4. 已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时， ；当为奇数时，. （1）若为偶数，且成等差数列，求的值； （2）设(且N)，数列的前项和为，求证：； （3）若为正整数，求证：当(N)时，都有. 19.为偶数，∴可设，故， 若为偶数，则，由成等差数列，可知， 即，解得，故； （2分） 若为奇数，则，由成等差数列，可知， 即，解得，故； ∴的值为0或2． （4分） （2）∵是奇数，∴， ，，依此类推， 可知成等比数列，且有， 又，，，… ∴当时，；当时，都有． （3分） 故对于给定的，的最大值为 ，所以． （6分） （3）当为正整数时，必为非负整数．证明如下： 当时