2010年浙江师范大学数学专业期末数学分析试卷答案.doc

浙江师范大学《数学分析B（二）》A卷答案与评分参考 (数101班 和 数103班) 选择题（每小题2分，共12分）1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 填空题（每小题2分，共8分）① ②　③ ④ 计算积分（每小题6分，共24分） ． 解 原式． . 解 原式 ． ． 解 因，故 原式． ． 解 令，则， 令，则 原式 ． 解答题（每小题6分，共42分） 求函数的极值点、极值和单调区间． 解 因， ，故，由得两个稳定点和，因不存在，故利用，和1将分成4个区间，并列表如下： — + — 不存在 + 由上表知，极小值点为和1，极大值点为，极小值为，极大值为，单调增区间为和，单调减区间为和． 求曲线的拐点和凹凸区间． 解 因 ，故 ，由解得．利用，和1，将分成4个区间，并列表如下： — + — 不存在 + 由上表知，拐点：、和，凹凸区间：、、和． 求由与所围图形的面积． 解 面积为 判别积分敛散性． 解 绝对收敛．因，而收敛，故由比较判别法即知． 判别级数绝对收敛还是条件收敛． 解 条件收敛．因为（1）由知，是Leibniz级数，故收敛． （2）因，而发散知，故由比较判别法即知发散． 判别级数在上一致收敛性． 解 因，而收敛，故由判别法知，级数在上一致收敛． 求级数的和． 解 原式 证明题（任选两题，每小题7分，共14分） 证明在上一致连续． 证 ，因在上连续，故由康托定理知，在上一致连续，因此存在与无关的，使得当且时，有．取，则且与无关，当且时，必有或． 情形1 若，则因，故，从而 ． 情形2 若，则因，故，因此 综上在上一致连续．证完 若，在上连续，证明在上． 证 因在上连续，若，则知，必有 ，使得．同理，若，则由知，必有，使得．因此，若在上不成立，则不妨设，使得，因此，由极限的保号性知，存在，使得，且当时，，从而 这与矛盾． 证完 证明在有连续的导函数． 证 （1）连续，（2）因 ，而收敛，故由判别法知，级数在上一致收敛，（3）在处收敛．因此，连续．而且在可以逐项求导，即在有连续的导函数．证完 证明级数在内闭一致收敛． 证 设，则，记，则因 ， 对和一致成立．而，故由级数一致收敛的Dirichlet判别法知，级数在上一致收敛，这表明级数在内闭一致收敛．证完 证明当时，级数收敛． 证 记，则因 ， 故由拉贝判别法的极限形式知，原级数收敛．证完 第 4 页 共 5 页 数学分析B(二)A卷答案与评分参考2011年6月15日