2扬州大学2004年硕士研究生数学分析试卷.doc

扬州大学2004年硕士研究生考试数学分析试卷 一、（每小题7 分，共28 分）计算或证明下列极限： 1、。 解：。 2、。 解：。 3．证明：若函数在上严格增加，，，证明。 证明：反证，假设，又有界，则存在子列，取，使，由极限的保号性，存在，当时有，由严格增加有，则存在序列收敛子列仍记为，显然有，与矛盾，命题成立。 4．讨论二元函数在点处的重极限与累次极限。 解：在点处的重极限：，因为 ，，所以不存在。 点处的累次极限 ，同理有。 二、（16 分）设函数在上连续，且满足： ，证明。 证明：由题设值对任意，，即有，解得，所以 ，且由连续有可微则。 三、（15 分）设函数在上单调减少，对任何正整数，试证 明下列不等式并说明该不等式的几何意义。 证明： 。几何意义：在上的曲边梯形面积与 个小矩形的差小于的。 四、（15 分）设f x 在[0,1]上可微，且f 0 ?0，若存在0?M?1，使得， x?[0,1] ，证明：在[0,1]上f x ?0. 证明： 令，，这里是中的任意一点，对任意的，由微分中值定理有 ， 所以有 ，现取，则，故有 ，即存在，使得在区间中恒为零，再 用替代上面的，取，又可证明在恒为零，因为为有限区间，所以经过有限步必可得在恒为零。 五、（16 分）设为数列，令 ， 问：（1）在上是否处处收敛？ （2）为使在上一致收敛，当且仅当满足什么条件？ （3）为使，1）当和时，对任意，存在，当时，，所以有，，即上处处收敛。 （2）因为，所以上一致收敛，当且仅当满足。 3）因为，所以使，满足。15 分）证明级数的和函数在 ??,?? 上的连续性。 证明：对任意的，存在闭区间，使得，下证在上一致收敛，因为，而所以在上一致收敛，对，因为有界，且对， 令，知当时，有单调减少，且，所以由迪雷克雷判别法知在上一致收敛，即有在上一致收敛，所以在连续，再由的任意性得在 ??,?? 上的连续。 七、（15 分）设u x 是由方程u??f x,y ,g x,y,z ?0,h x,z ?0所确定，且，．试求。 解：，且，，解得：。 八、（15 分）设[a]表示a的最大整数部分，计算。 解： 。 九、（15 分）设二元函数f x,y 为[a,b]?[c,?? 上的连续非负函数， 在[a,b]上连续，证明I x 在[a,b]上一致收敛。 证明：对任意的，存在，当时，有，又在的邻域使得时，显然[a,b]上的一个开覆盖，由有限覆盖定理上的有限个开邻域覆盖[a,b]，记为，令，则当时，对任意的，（存在，使得，）又f x,y 非负，所以 即I x 在[a,b]上一致收敛。 22