梁彬灿电磁学第三章习题解答.doc

3．2．1 解答： （1）如图3.2.1所示，偶极子的电荷量和所受的电场力分别为和，大小相等，合力为0，但所受的力矩为 当且仅当和时，电偶极子受的力矩为0，达到平衡状态，但在的情况下稍受微扰，电偶极子将受到回复力矩回到平衡位置上，因此，时，是稳定平衡；但在的情况下稍受微扰，电偶极子受到的力矩将使电偶极子“倾覆”到达情况，因此，的情况是不稳定平衡。 （2）若E不均匀，一般情况下，偶极子的电荷量和所受的电场力不为0，电场力将使偶极子转向至偶极矩P与场强E平行的情况，由于电场不均匀，偶极子所受的合力不为0.因此,电偶极子不能达到平衡状态。 3．2．2 解答： （1）如图3.2.2所示，偶极子和中的处激发的电场为 所受的电场力为 偶极子和中的处激发的电场为 所受的电场力为 偶极子受到的合力为 令，，，则，故 因，对和在处展开后，略去高次项 所以 其大小为 以上是和同向的情况，反向时大小不变，受力方向相反。 （2）对的情况亦相同。易见和同向时互相吸引，反向时互相排斥。 3．2．3 解答： （1）偶极子所受的力矩大小为 最大力矩为时 （2）偶极子从不受力矩的方向转到受最大力矩的方向，即从0到，电场力所做的功为 3．2．4 解答： （1）偶极矩为p的电偶极子处在外电场E中，最一般情况是p与外电场E夹角为（图3.2.4）。设电偶极子中所在处的电势为，所在处的电势为，偶极子的电势能为 （2）P与E的夹角为0时电势能最小，即 （3）P与E的夹角为时电势能最大，即 3．4．1 解答： 图3.4.1为均匀介质圆板的正视图，因圆板被均匀极化，故只有在介质圆板边缘上有极化面电荷，弧长为，厚度为h的面元面积为，在处的极化面电荷密度为 根据对称性，极化面电荷在圆板中心产生的电场强度只存在y分量，位于处的极化电荷在圆板中心产生的电场强度的y分量为 全部极化面电荷在圆板中心产生的电场强度大小为 补上电场强度的方向，电场强度为 3．4．2 解答： 紧靠导体A表面的极化电荷面密度与该处的极化强度矢量P在导体面法线上的投影的关系为 式中：法线的方向为导体的外法线方向。 利用关系与，得 紧邻该导体面元作一贯通导体表面的小柱面（图3.4.2），根据介质中的高斯定理可证得紧靠导体A表面介质的电位移矢量在导体面的外法线的投影 从而有 解得 3．4．3 解答： （1）在介质两个底面的极化电荷面密度为 式中：法线为介质圆柱体的外法线单位矢。 （2）如图3.4.3所示，在介质内沿轴向作一端面积为S、长为、体积为V的柱体，极化电荷体密度为 3．4．4 解答： 如附图所示，法线单位矢向下，因是均匀电介质，故。在界面处作一底面积为的柱面，被包围导体面上的自由电荷的电荷量为，根据高斯定理，自由电荷在介质中激发的电场为 而极化电荷面密度为 极化电荷在介质中激发的电场为 自由电荷和极化电荷在介质中激发的总电场为 3．4．5 解答： 根据电容器的定义并代入数据，得 金属板内壁的自由电荷（绝对值）为 放入电介质后，电压降至时电容C为 两板间的原电场强度大小 放入电介质后的电场强度大小 （6）电介质与金属板交界面上的极化电荷的绝对值为，因极化电荷与自由电荷反号，有 而 电介质的相对介电常数为 3．4．6 解答： 空腔面的法线取外法线方向单位矢，建立直角坐标系，为矢径R与z轴的夹角（图3.4.6），球面上的极化电荷面密度为 由上式知，紧贴球形空腔表面介质上的极化电荷面密度是不均匀的，极化电荷面密度左侧为正，右侧为负。球面上坐标为的面元面积为。该面元上的极化电荷量为 带电面元在球心处激发的电场强度方向由源点指向场点，用单位矢表示 根据对称性，极化电荷在球心的场强E的方向沿z轴方向，故只需计算场强E的z分量，即 因 故得 3．5．1 解答： 因导体板上内表面均匀分布自由电荷，取上导体板的法线方向指向下方，即有 在介质1板中，有 在介质2板中，有 如图3.5.1所示，贴近上导体板处的极化电荷面密度为 贴近下导体板处的极化电荷面密度为 两介质板间的极化电荷面密度为 3．5．2 解答： 图3.5.2(a)为侧视图，以面为对称面在板内作一两端面积为S，垂直面，长为的柱面。根据电场强度的方向，柱面侧面的电通量为0，按介质中高斯定理，有 得 式中：为背离面的单位矢；为所求场点到面的距离。 板内介质的极化强度矢量为 同理，以面为对称面作一伸出板外的，两端面积为S，垂直面的柱面。按介质中高斯定理，有 得 板外的极化强度矢量为 3．5．3 解答： （1）介质板用“2”标记，其余空气空间用“1”标记，单位矢方向为由高电势指向低电势，两极板间电势差（绝对值）为 无论在空间1还是在2，电位移矢量D相等，故有 得 即 解得 （2）因，故极板上自由电荷的电荷量（绝对值）为 （3）极板和介质间隙中（空气中）的场强，故 （4）电容为