chap6-1直角坐标系中的分离变量法教案分析.ppt

将 (7-1-40) 代入 (7-1-35) 即得所求定解问题的解。 例：求边长分别为 a,b,c 的长方体中的温度分布。设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 (6-1-42) 四、高维的定解问题——以一个长方体中的热传导问题 的定解问题为例 解：定解问题 (6-1-43) 1. 时空变量的分离 代入(6-1-43)，得到 (6-1-44) (6-1-45) (6-1-46) (6-1-47) (6-1-48) (6-1-49) (6-1-50) 令 2. 空间变量的分离 令 v(x,y,z) = X(x)w(y,z) 将 (6-1-51) 代入 (6-1-50) 及 (6-1-44) X (x) 的常微分方程及边界条件，构成本征值问题： (6-1-51) (6-1-52) (6-1-53) 同时，w (y,z) 遵守方程 (6-1-54) 再令 (6-1-55) 代入 (6-1-54) 及 (6-1-45)、(6-1-46)，可得到另外两个本征值问题 3. 求解本征值问题 本征值与本征函数分别为： 而 v 的本征值为λ2，所以 v 的本征值与本征函数分别为 4. 关于 T(t) 的常微分方程的求解 将 的值代入 (6-1-49)，可得到 T(t) 的通解 5. 特解的线性组合 由特解的线性组合得到通解 6. 由初始条件定系数 ——三重傅里叶级数 定解问题的特解为 至此我们已就带有第一类齐次边界条件的三类典型方程的定解问题举例进行了分析和求解。通过这些例子可熟练地掌握用分离变量法解题的步骤，特别是掌握本征值问题 的本征值和相应的本征函数，这将会给我们解题带来很大的方便，从上例我们已清楚地看到了这一点。 由本征函数的正交性，得到展开式中的系数 五、量子力学中一维无限深势阱问题 例 求处于一维无限深势阱中的粒子状态 (1) (2) (3) 解：这是量子力学中的问题。在量子力学中，微观粒子的状态是用波函数 ? 来描述，决定粒子状态变化的不再是牛顿运动方程，而是薛定谔方程 其中，U (r) 是势场。 在如右图所示的一维无限深势阱中，其势能函数为： U(x) = 0 ( |x| a )，U(x) = ? ( |x| ≥ a )，故其粒子状态可用上述的定解问题来描述。显然，我们可以直接用分离变量法来求解。 阱内、阱外满足的薛定谔方程分别为 由于阱外的势能 U0 → ?，根据波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当 ? = 0 时，上面的第二个方程才能成立，所以有 而对于上面的第一个方程，采用分离变量法来求解。 则 (1) 式变为 (I) 令 即 E (能量) 令 于是得 (5) (6) (4) 1. 若 ? = 0，则由式 (6 ) 有 若令 ，则 (6) 式变为 将 (4) 式代入边界条件，则由 (2) 式得 (II) 解本征值问题 (6 ), (7) 方法一 用常规方法求解 (7) (6 ) 于是有 C1 = C2 = 0，从而有 ? (x) = 0，所以 ? ≠ 0。 而由 (7) 式有 2. 若 ? 0，则由式 (6 ) 有 而由 (7) 式有 3. 若 ? 0，则由式 (6 ) 有 于是有 于是有 C1 = C2 = 0 ，从而有 ?(x) = 0，所以 。 而由 (7) 式有 显然，C1 和 C2 不能同时为零，否则又将得到 ?(x) 的零解。 (8) * 1. 用分离变量法求解定解问题的基本思想 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。 (1) 叠加原理：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上) 这种因果规律如果用数学关系式来描述 (代数式、微分方程、积分方程等)，那么所得的关系式是线性的。叠加原理对于用线性方程描述的物理现象来说都是成立的。(数学上) 第六章??分离变量法 (2) 分离变量法的物理来源——驻波 驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解 偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就 可以保证尝试解的正确性。 驻波的一般表示： (3) 分离变量法的特点 a. 物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b. 把偏微分方程化