第3章平面图形几何性质要点解析.ppt

目录 二、形心坐标 三、静矩和形心坐标之间的关系 例3-1 计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定该图形的形心坐标。 例3-2 确定图示图形形心C的位置。 注意公式中Sy、Sz的求法。 例3-3 求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。 静矩的特点： 形心的确定 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即： 例3-4 求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。 几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 或简写成： 求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩的步骤： 例3-7 求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。 二、转轴公式与主惯性轴 如图所示，将平面图形置于两坐标系中，两坐标系共用一个原点，二者之间夹角为α，则： 微面积dA在两坐标系中的坐标关系为： 平面图形在y1oz1坐标系中对y1轴惯性矩为： 同理可导出平面图形在y1oz1坐标系中惯性矩和惯性积为： 平面图形的转轴公式 主惯性轴方位： 3.主惯性矩公式： 1）找出形心位置； 2）通过形心C建立参考坐标 yoz，求出 Iy、Iz、Iyz 3）求α0、Iy0、Iz0 材料力学 第3章 平面图形的几何性质 §3.1 静矩和形心 §3.2 惯性矩和惯性积 §3.3 平行移轴公式和转轴公式 主要内容 目录 3.1 静矩和形心 一、静矩 如图所示，y.dA 和z.dA 分别定义为微面积dA对Z 轴和Y 轴的静矩。 Sz 、Sy 就分别定义为图形对Z 轴和Y 轴的静矩，也称一次矩。 将微面积dA对 轴的静矩在面积A上积分得： 设图形为厚度很小的均质板，在yoz坐标系中，重心与形心c重合。 由静力学力矩定理可推得薄板重心公式： A S y z = A S z y = 四、 组合截面的静矩与形心 则 组合图形形心坐标： 若 整个图形对某轴的静矩，等于图形各部分对同一轴静矩的代数和。 解：取微面积dA=zdy，如图，则 同理可得： 图形面积： 解： 解： A Yc y 20 30 c o x 例3-4：求图示矩形对x轴静矩 o x o x y x o X为形心轴 ⑴静矩针对某轴为定值；轴位置变，对该轴静矩变 ⑵静矩有正、负或为零；单位：m3 ⑶对某轴静矩为零 该轴为形心轴 工程中一般采用对称截面构件 ⑴具有两个以上的对称轴，对称轴交线为形心 ⑵只具有一个对称轴，形心必在对称轴上 ①建立坐标系求静矩 坐标轴应方便静矩求取 ②利用静矩求形心 如图所示，y2.dA 和z2 .dA 分别定义为微面积dA对Z 轴和Y 轴的惯性矩。 二、惯性矩 ρ 把Iz 、Iy分别定义为图形对Z 轴和Y 轴的惯性矩，也称二次轴矩。 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径 平面图形惯性矩与极惯性矩的关系： 解： 同理可得： 12 3 hb I z = 解：建立yoz坐标系，取微面积dA=2zdy,则： 返回 下一张 上一张 例3-5 求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。 得： 圆平面的极惯性矩： 三、惯性积 将式中Iyz 定义为图形对Z 轴和Y 轴的惯性积。 如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。 (3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 3.3 平行移轴公式和转轴公式 一、平行移轴公式 平面图形的惯性矩和惯性积均与坐标轴的位置有关。 若两坐标轴相互平行，且有： 那么，平面图形对两平行轴的惯性矩和惯性积有如下关系： 以上三式称为平面图形惯性矩、惯性积的平行移轴公式。 例3-6 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。 B 建立形心坐标轴如图,图形对形心轴的惯性矩为： A d x y O 由平行移轴公式得： 材料力学 第3章 平面图形的几何性质 * *