第5章杆系结构单元(简)要点解析.ppt

（5-36） 形函数矩阵由式（5-30）和（5-31）给出。对于具体问题，只要将qy(x)代入上式进行积分即可。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。 - 5ql2/96 ql/4 5ql2/96 ql/4 - ql2/20 7ql/20 ql2/30 3ql/20 - ql2/12 ql/2 ql2/12 ql/2 Mj Qj Mi Qi 荷载分布 i j q q i j q i j 几种横向分布荷载等价节点力 表 1 (6) 单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为 将式（5-34）代入上式进行积分，并注意到 Iz——梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩 得单元坐标单元刚度矩阵[k]e: （5-37） 单元刚度矩阵式(5-38)适合于连续梁分析。 （5-38） 2、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 i j x y i j x y ?2 ?3 ?5 ?6 l ?1 ?4 F2 F3 F5 F6 l F1 F4 图5-10 （1）单元坐标单元位移和单元力 ① 单元位移 （5-39） 其中： u——x方向（轴向）位移。 v——y方向位移，即挠度。 ?——角位移。 ② 单元力 （5-40） 其中： N——轴向力 Q——剪力 M——弯矩 对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按5.3节一维铰结杆单元和5.4节两端承受剪力、弯矩的平面梁单元的结果（式5-3和式5-28）简单集合而成。 （2）位移函数和形函数 ① 位移模式 （5-41） 以下形函数和一些基本矩阵都可按此思路推演。 ② 形函数 式中形函数[N]为： （5-42） （5-43） 其中： （3）应变矩阵 ① 单元弯曲应变?与节点位移???e的关系 承受轴向力、剪力、弯矩的梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（u）引起的应变之和。 考虑到式（5-8）和（5-34），单元应变矩阵为： （5-44） （5-45） (5) 等价节点力 x y i j l 图5-11 qy(x) （4）应力矩阵 （5-46） 应力矩阵形式同式（5-35）： qx 将式（5-36）、（5-11）膨胀成6×1矩阵后相加，并注意到式（5-43），有 （5-36） （5-11） 最后得等价节点力矩阵 （5-47） 表2给出了几种特殊情况的等价节点力。 Qj Qi Mj Nj Mi Ni 荷载分布 几种横向分布荷载等价节点力 表 2 i j qy qx qy i j qx qy i j qx (6) 单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为 （5-48） 式(5-48)用于分析平面框架。 3、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元 图5-12 i j l x y z ?1 ?2 ?4 ?5 ?3 ?6 F1 F2 F4 F5 F3 F6 i j l x y z Mxj F4 Myj F5 Qzj F6 Mxi F1 Myi F2 Qzi F3 wj ?yj ?xj wi ?yi ?xi ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 此类单元适用于格栅以及受面外荷载的平面框架, 之所以仍称为平面梁单元，是由于结构本身是平面结构，而节点也是3个自由度。 ?x、Mx——截面绕扭心轴的扭转角和相应扭矩。 ?y、My——截面绕y轴的弯曲转角和相应弯矩。 w、Q——截面形心的横向位移和相应横向剪力。 如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。例如，横向剪力不通过扭心，它会引起对扭心轴的扭矩。 这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形。则弯曲和扭转之间是相互独立的。 此外，这里的扭转限于纯扭转或称均匀扭转。其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。即 （5-49） 扭矩平衡条件 （5-50） 由此得 （5-51） 式中GJ为截面扭转刚度。 只需要将式（5-48）中的Iz换成Iy，并注意编号次序。同时考虑到式（5-51），即得 （5-52） 4、空间梁单元 空间梁单元，每个节点有6个自由度，单元自由度为12。图5-13给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号。单元力的正向及其编号与单元位移相同。 i j l x y z ui ?xi vi ?yi wi ?zi vj ?yj wj ?zj uj ?xj 图5-13a i j l x y