高斯定理 数学专业毕业论文.doc

高斯定理 摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把高斯定理推广到万有引力场中去。 关键词：高斯定理；应用；万有引力场 Gaussian theorem Abstract: Gaussian theorem is an important theorem of electromagnetism. It not only has important application in electrostatic field, but also is an important equation in Maxwell electromagnetic field theory. This thesis introduces the Gaussian theorem in detail and proves it by using many methods such as the mathematical method and the direct proof method etc.It also introduces the several problems that we should pay attention to when we apply and use Gaussian theorem. It can be found convenient when we use the Gaussian theorem to solve the problems related to the electromagnetism. The last part of this thesis is to introduce the Gauss Theorem to the Gravitational Field. Key words: Gaussian theorem; Application; Gravitational field 目 录 1 高斯定理的表述 1 1.1数学上的高斯公式 1 1.2静电场的高斯定理 1 1.3磁场的高斯定理 2 2.1.1静电场的高斯定理 2 2.1.2磁场的高斯定理 4 2.2高斯定理的直接证明 5 2.3高斯定理的另一种证明 6 3 高斯定理的应用 8 4将高斯定理推广到万有引力场中 11 4.1静电场和万有引力场中有关量的类比 11 4.2万有引力场中的引力场强度矢量 11 4.3万有引力场中的高斯定理 12 5 结束语 12 参考文献 14 谢辞 15 引言 高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，若函数在上连续，且有一阶连续函数偏导数，则 1－1 的方向为外发向。1－1[1]。 1.2静电场的高斯定理 一半径为的球面包围一位于球心的点电荷，在这个球面上，场强的方向处处垂直于球面，且的大小相等,都是。通过这个球面的电通量为 其中是球面积分，等于。从此例中可以看出，通过球面的电通量只与其中的电量有关，与高斯面的半径无关。若将球面变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为。 若闭合曲面内是负电荷，则的方向处处与面元取相反，可计算穿过面的电通量为。若电荷在闭合曲面之外，它的电场线就会穿入又穿出面，通过面的电通量为零[2]。 如果闭合面内有若干个电荷，由场强叠加原理可知，通过面的电通量为 此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面称为高斯面，对于连续分布的电荷，电荷体密度为，则上式可以表述为 1.3磁场的高斯定理 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示： 与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。