高斯定理在电磁学中的应用 毕业论文.doc

目 录 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 1.2静电场的高斯定理 1.3磁场的高斯定理 2高斯定理的证明方法 2.1.1静电场的高斯定理 2.1.2磁场的高斯定理 2.2高斯定理的直接证明 2.3高斯定理的另一种证明 2.4对称性原理及其在电磁学中的应用 3理解和使用高斯定理应注意的若干问题 5.1静电场和万有引力场中有关量的类比 5.2万有引力场中的引力场强度矢量 5.3万有引力场中的高斯定理 6结束语 参考文献 高斯定理在电磁学中的应用 摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把高斯定理推广到万有引力场中去。 关键词：高斯定理，应用，万有引力场 引言 高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，若函数在上连续，且有一阶连续函数偏导数，则 1－1 的方向为外发向。1－1[1]。 1.2静电场的高斯定理 一半径为的球面包围一位于球心的点电荷，在这个球面上，场强的方向处处垂直于球面，且的大小相等,都是。通过这个球面的电通量为 其中是球面积分，等于。从此例中可以看出，通过球面的电通量只与其中的电量有关，与高斯面的半径无关。若将球面变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为。 若闭合曲面内是负电荷，则的方向处处与面元取相反，可计算穿过面的电通量为。若电荷在闭合曲面之外，它的电场线就会穿入又穿出面，通过面的电通量为零[2]。 如果闭合面内有若干个电荷，由场强叠加原理可知，通过面的电通量为 此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面称为高斯面，对于连续分 的电荷，电荷体密度为，则上式可以表述为 1.3磁场的高斯定理 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示： 与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，极和极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无源场[2]。 2 高斯定理的证明 2.1高斯定理的数学证明 2.1.1静电场的高斯定理 静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： (a)点电荷在球面中心，点电荷的电场强度为球面的电通量为 2－(b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面的通量为 2－2 2－在内有连续一阶偏导数，故2－－－ (c)点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面内以点电荷为球心作一辅助球面，其法向朝内，根据2－1在闭曲面的电通量为零，即： 2－－和大小相等，法向相反。 (d)点电荷系在闭曲面内外 设闭曲面内的点电荷为；闭曲面外的点电荷为根据上述讨论可得 这就是静电场中的高斯定理[3]。 2.1.2磁场的高斯定理 磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： (a)电流元在球面中心 由磁通量的定义和毕奥—萨法尔定律为了方便，把简写为，则可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为 因为，所以 (b)电流元在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为 因为，并设，则 代入原式得 根据高斯公式 同理可