第2章(I)单自由度系统的自由振动要点解析.ppt

《振动力学》 * 单自由度系统的振动 系统的固有圆频率为 固有频率为 例2-15 一钢结构单层厂房简化为图2-21（a）所示单层框架。设楼板质量m=2500kg，两侧墙壁的总质量2700kg，且在高度上均匀分布。每侧墙的折算截面惯性矩I=3500cm4,钢的弹性模量E=2.06×107 N/cm2,求楼板横向振动的固有圆频率。 解：据题意，楼板横向振动可用图2-21（b）的弹簧-质量系统等效，弹簧刚度为 图 2-21 《振动力学》 * 单自由度系统的振动 框架的固有圆频率为 * 《振动力学》 * 教学内容 单自由度系统自由振动 * 《振动力学》 * 教学内容 单自由度系统的振动 运动方程建立 等效质量、等效刚度与等效刚度 单自由度系统的自由振动 无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 阻尼自由振动 单自由度系统的强迫振动 能量法 对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理：（1）建立自由振动方程，（2）求出系统的固有频率。 无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即： 或： 单自由度系统自由振动 弹簧质量系统 动能： 势能： （重力势能） （弹性势能） 不可能恒为 0 单自由度系统自由振动 0 m x 静平衡位置 弹簧原长位置 如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能： 势能： 设新坐标 单自由度系统自由振动 0 m x 静平衡位置 考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大 最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大 单自由度系统自由振动 对于转动： x 是广义的 0 m x 静平衡位置 静平衡位置 最大位移位置 xmax 0 m x 例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量 m 刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度 求: 倒摆作微幅振动时的固有频率 单自由度系统自由振动 l m a k/2 k/2 广义坐标 动能 势能 平衡位置1 零平衡位置1 单自由度系统自由振动 l m a k/2 k/2 单自由度系统自由振动 k1 R k2 M m 例：铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统 确定系统微振动的固有频率 滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。 单自由度系统自由振动 解： k1 R k2 M m 广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能： x 势能： 单自由度系统自由振动 解： k1 R k2 M m 广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能： x 势能： * 《振动力学》 * 教学内容 单自由度系统自由振动 * 《振动力学》 * 教学内容 单自由度系统的振动 运动方程建立 等效质量、等效刚度与等效刚度 单自由度系统的自由振动 无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 阻尼自由振动 单自由度系统的强迫振动 瑞利法 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。 单自由度系统自由振动 m k x 0 例如：弹簧质量系统 设弹簧的动能: 系统最大动能： 系统最大势能： 若忽略 ，则 增大 单自由度系统自由振动 弹簧等效质量 mt m k x 0 * 《振动力学》 * * 《振动力学》 * 作业 单自由度系统自由振动 第46页2.3 第47页2.5,2.6 * 《振动力学》 * 教学内容 单自由度系统振动 * 《振动力学》 * 教学内容 运动方程建立 等效质量、等效刚度与等效刚度 单自由度系统的自由振动 无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 阻尼自由振动 单自由度系统的强迫振动 * 《振动力学》 * 《振动力学》 * 单自由度系统的振动 2.有阻尼的单自由度系统 阻尼有各种来源：（1）两物体相对移动时的干摩擦阻尼；（2）有润滑剂的两个面之间的摩擦力；物体在液体中运动的流体阻尼；材料本身的内摩擦引起的材料阻尼等。阻尼处理始终是振动分析中的一个难题。黏性阻尼由于它与速度成正比，又称线性阻尼。 式中c为比例常数，称为黏性阻尼系数，单位为N·s/m。黏性阻尼在分析振动问题时使求解大为简化，也能阐明阻尼对系统响应的影响。 《振动力学》 * 单自由度系统的振动 对图2-22示有粘性阻尼的单自由度系统，运动微分方程为 令 得 设解 ，代入得 则得特征方程 特征方程解为 其中 为无量纲量，称阻尼比（相对阻尼系数）。 方程（2-1