2004年数学四试题评析.doc

2004年数学四试题分析、详解和评注 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若，则a =，b =. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为，且，所以 ，得a = 1. 极限化为 ，得b = (4. 因此，a = 1，b = (4. 【评注】一般地，已知＝ A ， (1) 若g(x) ( 0，则f (x) ( 0； (2) 若f (x) ( 0，且A ( 0，则g(x) ( 0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)题、 第6题，《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34，《数学四临考演习》P79第7题， 《考研数学大串讲》P12例17、19. (2) 设，则. 【分析】本题为基础题型，先求导函数即可. 【详解】因为，， 所以，. 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导. 类似例题在一般教科书上均可找到. (3) 设，则. 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ( 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令x ( 1 = t， ＝. 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 完全类似的例题见《数学复习指南》P96例4.17，《数学四临考演习》P61第2题， P68第15题，《考研数学大串讲》P41例14. 设，，其中为三阶可逆矩阵,　则 　　． 【分析】 将的幂次转化为的幂次, 并注意到为对角矩阵即得答案. 【详解】因为 , . 故 , . 【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查． 完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291例2.13. 设是实正交矩阵，且，，则线性方程组的解是　． 【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 , 而且是实正交矩阵, 于是 , 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以 . 【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算． 类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司) P.174例33. (6) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 . 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于, 的分布函数为 故 . 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数在下列哪个区间内有界. (A) ((1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当x ( 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，， ，，， 所以，函数f (x)在((1 , 0)内有界，故选(A). 【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界； 如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x) 在开区间(a , b)内有界. 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10，《数学四临考演习》P51 第15题. (8) 设f (x)在((( , +()内有定义，且， ，则 (A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点. (C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元， 可将极限转化为. 【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以， 当a = 0时，，即g(x)在点x = 0处连续，当a ( 0时， ，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性 与a的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41例1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20例1.35. (9) 设f (x) = |x(1 ( x)|，则 (A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的