2012年考研数学三真题与答案解析.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、选择题1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线渐近线的条数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数，其中为正整数，则( ) (A) (B) (C) (D) (3)设函数连续，则二次积分( ) (A) (B) (C) (D) (4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则( ) (A) (B) (C) (D) (5)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) (A) (B) (C) (D) (6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=（），，则( ) (A) (B) (C) (D) (7)设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0.1）( ) (A) (B) (C) (D) (8)设为来自总体（0）的简单随机样本，则统计量的分布为( ) (A)N（0,1） (B)t(1) (C) (D)F(1,1) 二、填空题9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) (10)设函数， ，则 (11)设连续函数满足则 (12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵。若交换的第1行与第2行得矩阵,则 (14)设A、B、C是随机事件，A与C互不相容，,,则 三、解答题15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)求极限 (16)计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域. (17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为（件）和（件），且定两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）. (1)求生产甲乙两种产品的总成本函数（万元）； (2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本； (3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义. (18)证明 (19)已知函数满足方程及. (1)求的表达式； (2)求曲线的拐点. (20)设， (1)计算行列式； (2)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解. (21)已知，二次型的秩为2. (1)求实数的值； (2)求正交变换将化为标准形. (22)设二维离散型随机变量、的概率分布为 Y X 0 1 2 0 0 1 0 0 2 0 (Ⅰ)求； (Ⅱ)求. （2），. （Ⅰ）求的概率密度； （Ⅱ）求. 数三参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B D C B D B 二、填空题 9、； 10、4； 11、； 12、； 13、； 14、 1、【解析】 2、【解析】 3、【解析】 4、【解析】 5、【解析】 6、【解析】 7、【解析】 8、【解析】 9、【解析】 10、【解析】 11、【解析】 12、【解析】 13、【解析】 14、【解析】 三、解答题 15、解： 16、解： 17、解：（I），对x积分得： 再对y求导有， 再对y积分有， 所以，又，所以 所以 （II）x+y=50，把y=50-x代入 令，得x=24，y=50-24=26， 这时总成本最小C（24,26）=11118万元 （III）（万元/件） 经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。 18、证明：令， 所以 即证得： 19、解：（I）对应的特征方程为，r=-2，r=1 所以 把代入，得到 （II） 同理，当x0时， 可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。 20、解：(I） (II)对方程组的增广矩阵初等行变换： 可知，要使方程组有无穷多解，则有且，可知 此时，方程组的增广矩阵变为，进一步化为最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为 21、解：(1)由二次型的秩为2，知，故 对矩阵A初等变换得 因，所以 (2)令 所以B的特征值为 对于，解得对应的特征向量为 对于，解得对应的特征向量为 对于，解得对应的特征向量为 将单位化可