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例 光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A,B的质量均为m,弹簧的倔强系数为k，其一端固定在O点，另一端与滑块A接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块A脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到C点与轨道脱离，O’C与竖直方向成α＝60°，求弹簧被压缩的距离x. 解：①设滑块A离开弹簧时速度为v,在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒 ②A脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，B以初速v沿圆环轨道上升。 ③B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒 当滑块B沿半圆环轨道上升到C点时，满足 （4） （1）、（2）、（3）、（4）联立求解可得 例 如图，两个带理想弹簧缓冲器的小车A和B，质量分别为m1和m2．B不动，A以速度 与B碰撞，如已知两车的缓冲弹簧的劲度系数分别为k1和k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计） 解：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止时，两车速度相等。 在碰撞过程中，以两车和弹簧为 系统，动量守恒，机械能守恒。 x1、x2分别为相对静止时两弹簧的压缩量．由牛顿第三定律 相对静止时两车间的相互作用力 例 要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的 速度最小值为多大？ 解：由机械能守恒定律得到 例 目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在内的任何物质都不能从它上面发射出来，这种天体被称为黑洞（black hole)。若由于某种原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？ 解 由机械能守恒定律 当 时 m要从M上逃逸，有： 逃逸速度为 v与m无关，与R,M有关. 光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑洞 若一个质量M的天体，只要半径R缩小到某一临界值 此天体就称为黑洞。对太阳M=1.99×1030kg, R=6.96×108m 成为黑洞。 * * * * * * * * * * 第3章 功和能 §3.1 功 保守力 力对空间的积累 ？ 一、功（work） 由 所作的功∶ 1、外力对质点的功 元功： 恒力的功 ? 直角坐标系： 自然坐标系： 极坐标系： 2、多个力作用时的功（对质点） 合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 （1）功是标量（可正、可负、可为零） （2）功与路径有关，是过程的函数（过程量） （3）功是力对空间的积累 （4）功的单位为焦耳（J） 说明 1 弹簧弹力的功。 解 当物体处于 x 处时所受的弹力为： 物体由 x a 移动到 x b 处时弹性力所作的功为： 由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功； 弹簧收缩时，弹力作正功。 弹性力的功A的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。 二、几种常见力的功 2 重力的功 作用于质点上的重力 位移元 在由P1到P2的过程中重力做功为: 重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力作正功，质点上升时重力作负功。 3 万有引力的功。 m1 在m2的引力场沿其椭圆轨道由ra移到r b 。求引力对m1 所作的功。 解： 讨论 ①万有引力的功A的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。 ②在不同的位置，其功的正负和数值不同 ③轨道为圆形时，A=0. 4 摩擦力的功 质量为m的质点，在固定的粗糙水平 面上由初始位置P1沿某一路径L1运动到 末位置P2，路径长度为s，如图所示。 由于摩擦力的方向总是与速度的 方向相反。所以元功 质点由P1点沿L1运动到P2点的过程中，摩擦力所做的功为: 摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。 三、保守力与非保守力 特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关． 1、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等 保守力的环流等于零。 3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的 功不为零。这种力为非保守力。 如摩擦力、冲力、火箭的推动力等 2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。 证明： 平均功率： 瞬时功率： 四、功率(power) 表示作功快慢的物理量 定义：功随时间的变化率. SI单位: 焦耳/秒 (瓦特) 额定功率——最大输出功率. §3.2 势 能 一、 势能 保守力做功与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关 。 保守力做功必