建筑力学第三章要点解析.ppt

第三章 重心、质心及形心 第一节 质点系的重心及质心 第二节 刚体的重心、质心及形心 第三节 组合体的重心、形心 总结与讨论 习题 3.1 质点系的重心及质心 如图3-1所示，置于地球表面附近的由n个质点组成的质点系，第i个质点的质量为 ，质点系总质量为，该质点所受重力为W，各质点上所受重力严格考虑的话，并不平 行。但是，一般工程上研究的质点系统的尺寸远小于地球半径，故这些力之间的夹角非常微小，所以各质点系上所受力可以看成是铅直向下的空间同向平行力系，其合力W就是整个质点系所受的重力。即 （3-1） 当质点系中各质点空间位置确定时，合力的作用线，必定通过某一确定点，这一点就称为质点系的重心。可以看出置于地球表面附近的质点系的重心就是对应平行力系的中心，建立直角坐标系，假定第个质点的坐标为， 3.1 质点系的重心及质心 质心，就是所研究物体或物体系统质量的中心，只与质点系的质量分布有关，与质点系是否受力无关。在研究质点系受外力作用发生运动状态改变时，要用到质量的中心，即质心的概念。 在中学已学过，、，将其二式代入上式，化简可得 ， ， （3-3） 由公式确定的点定义为前述质点系的质点。 上式中可以看出，质心只与质点系中质量的分布有关，不涉及重力，利用式（3-3）可以求质点系质心的位置。 当质点系中各质点的质量是定值时，质点系的重心及质心取决于质点系中各质点的相对位置。当质点系中各质点的相对位置不发生变化时，质点系的重心及质心不会发生变化；当质点系中各质点的相对位置发生变化时，质点系的重心及质心会随着发生相应的变化。 3.2 刚体的重心、质心及形心 前面学习过，刚体可看作是无数质点通过内部刚性联系的质点系。将刚体置于地球表面附近时，刚体在重力作用下不会发生变形，组成刚体的各个微粒上所受重力是一空间平行力系，并且当此刚体不管怎样放置，其平行力分布重力的合力的作用线，都将通过该刚体上一个确定的点，这一点称为该刚体的重心。 如图3-2所示均质刚体置于地球附近，重力加速度为，该物体的体积为，质量为m，密度为，单位体积重力为。建立图示坐标系，将它分成许多微小的部分，第个微小部分体积为、所受重力为，所有微小部分所受重力构成铅直向下的空间同向平行力系，其合力大小为 ，假定第个微小部分中心的坐标为 ，可得单个刚体中心坐标计算公式同式（3-2），同质点系质心求解方法，得单个刚体质心计算公式同式（3-3）。 因为物体是均质的，则有 代入式（3-2），得 （3-4） 3.2 刚体的重心、质心及形心 由式（3-4）可见，均质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状，而与物体的重量无关。 定义式（3-4）决定的刚体的几何中心为刚体的形心，从上式可以看出，其取决于刚体的几何形状和尺寸。 显然，利用式（3-2）、式（3-3）及式（3-4）求解刚体的重心、质心及形心，其精确度取决于刚体被分割的微小单元的大小及数量，分割的微小单元数量越多，越小，则求得的值越精确。当取趋近于零时，也就是取极限情况下，式（3-2）、式（3-3）及式（3-4）可以写成积分形式，即得 3.2 刚体的重心、质心及形心 刚体重心的坐标 ， ， （3-5） 刚体的质心坐标 ， ， （3-6） 刚体的形心坐标 ， ， （3-7） 利用式（3-5）、式（3-6）及式（3-7）可以求出单个刚体重心、质心及形心的精确值。 对照前面几个公式可知，对于匀质物体，其重心、质心及形心相重合，对于非匀质物体，则重心和质心重合，但形心将不会与前二者重合。究其原因，是由于重心和质心都与物体质量分布有关，而形心只与物体的几何形状有关。 3.2 刚体的重心、质心及形心 对于厚度相等的平薄板，假定板厚为，板面积为，可知，取微单元，将、代入式（3-4），简化后得 （3-8） 写成如下积分式 ， ， （3-9） 对于厚度相等的平薄板，当其板面位于平面内时，在厚度方向知其形心在处，求另外两个坐标只需式（3-9）中前两个公式。 不难证明，凡具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体（或几何形体)，其重心、质心、形心必定在对称面、对称轴或对称中心上。 此外，当板厚趋近于零时，板就变成了平面，可知其形心坐标在平面图形内，取平面图形所在平面为面建立坐标系，则平面图形的形心可由下式求出 （3-10） 积分式为 ， （3-11） 3.2 刚体的重心、质心及形心 上两式即为平面图形的形心定义及求解公式。 定义积分及分别称为平面图形对轴及轴的静矩，也称其为面积的一次矩。图3-3　均质等截面细长杆 对于