数值积分与积分变换 第2 章.ppt

§2.1 解析函数的概念 一、复变函数的导数 二、 解析函数 三、 函数可导的充要条件 1、函数可微的概念 2、 函数可导的充要条件 * * 1、 导数的定义 定义2.1.1　设 是定义在区域D上的 存在，则称 在 点可导, 并把这个极 限值称为 在 点的导数，记做 复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限 定义中的极限式可以写为 即当 在 点可导时, 注意 的方式是任意的. 此时，对D内任意一点z, 有 也可用 等表示 在z点的导数. 若 在区域 D内每一点都可导, 则称 在区域 D内可导. 则 例1　设 在复平面内 处处可导，且 解　因为 所以 例2　证明 在复面内处处 连续，但处处不可导. 证明　对复平面内任意点z, 有 故 这说明 在复面内处处连续. 但是, 设 沿着平行于x 轴的 方向趋向于 0, 即 于是 所以 的导数 不存在. 设 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即 2、 可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导. 事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有 ). ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 z f z z f z z f z ￠ - D - D + = D r 令 , ) ( ) ( lim 0 0 0 z f z z f z = D + ? D 所以 再由 即 在 处连续. 反之, 由 知, 不可导. 但是二元实函数 连续, 于是根据 知, 函数 连续. 3、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数 导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同. 求导公式与法则: (1) 其中c为复常数. (2) 其中n为正整数. 其中 其中 与 是两个互为反函数的单值函数, 且 定义2.1.2 在区域D有定义. (1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得 在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析, 也称 是 的解析点. (2) 若 在区域D内每一点都解析，则称 在区域D内解析, 或者称 是区域D内的 解析函数. (3) 设G是一个区域，若闭区域 且 在G内解析，则称 在闭区域 上 解析. 函数 在 处解析和在 处可导意义 不同，前者指的是在 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 处可导. 函数 在 处解析和在 的某一个邻 域内解析意义相同. 复变函数在区域内解析与在该区域内可导 是等价的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导. 反之, 设函数 在区域D内可导, 则对 任意 存在z的某一个邻域U, 使得U ? D, 由 在D内可导, 可知 在U内可导, 即 在z处解析. 若函数 在 处不解析，则称 是 的奇点. 若 是 的奇点, 但在 的某邻域内, 除 外, 没有其他的奇点，则称 是函数 的孤立奇点. 由例1和例2知, 函数 是全 平面内的解析函数，但是函数 是处处不解析的连续函数. 根据求导法则，很容易得到下面的结论. 设函数 在区域D内解析, 则 也在D内解析. 当 时, 是 的解析点. 特别地, 多项式P(z)在全平面内解析, 有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有