恒 成 立 问 题 三.docVIP

恒 成 立 问 题 “恒成立”问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题. 恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点. 一、恒成立问题常见的题型 1. 由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围 2. 证明不等式恒成立 二、解决恒成立问题常用的方法 1. 函数性质法 （1）一次函数：给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）或ⅱ），亦可合并成，如图1所示. 同理，若在内恒有，则有. 图1 【例1】（2007年·辽宁卷·文22)已知函数，，且对任意的实数 均有，. (Ⅰ) 求函数的解析式； (Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围. 〖解析〗(Ⅰ)略 （Ⅱ）由(Ⅰ)， 所以. 令，则 即. 由于，则有. 解得. （2）二次函数：给定二次函数，若大于0恒成立，则有，如图2所示.（注：恒成立） 图2 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 【例2】（2007年· 江苏卷9)已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 〖解析〗由题意知. 所以（当且仅当时取“=”号）. 【例3】（2007年·重庆卷·理13)若函数的定义域为，则的取值范围为 ． 〖解析〗已知函数的定义域为，即在恒成立，也即恒成立，所以有. 解得. 【例4】（2007年·陕西卷·理20）设函数，其中为实数. (Ⅰ)若的定义域为,求的取值范围； (Ⅱ)当的定义域为时，求的单减区间. 〖解析〗(Ⅰ)（解法同例3） (Ⅱ)略 （3）其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）. 【例5】（2007年·山东卷·理22)设函数,其中. (Ⅰ)当，判断函数在定义域上的单调性； (Ⅱ)求函数的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数,不等式 ) 都成立. 〖解析〗(Ⅰ)、（Ⅱ）略 （III） 当时，. 令，则在上恒正，∴在上单调递增，当时，恒有. 即当时，有. 对任意正整数，取得 . 【例6】（2007年·重庆卷·理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数. （Ⅰ）试确定、的值； （Ⅱ）讨论函数的单调区间； （Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 〖解析〗(Ⅰ)、（Ⅱ）略 （III）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值. 要使恒成立，只需. 即，从而.解得或. 所以的取值范围为. 【例7】（2007年·浙江卷·理22)设，对任意实数，记. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：①当时，对任意正实数成立；②有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立. 〖解析〗(Ⅰ)略 （Ⅱ）①令，则，当时，由得. 当时，；当时，. 所以在内的最小值是. 故当时，对任意正实数成立. 【例8】（2007年·福建卷·理22)已知函数，. （Ⅰ）若，试确定函数的单调区间； （Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围； （III）设函数，求证： . 〖解析〗(Ⅰ)、（III）略 （Ⅱ）由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立．由得． ①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意． ②当时，． 当变化时的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在上，． 依题意，，又,∴． 综合①，②得，实数的取值范围是． 【例9】（2007年·安徽卷· 理18)设， （Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当时，恒有． 〖解析〗(Ⅰ)略 （Ⅱ）证明：由知，的极小值． 于是由上表知，对一切，恒有． 从而当时，恒有，故在内单调增加． 所以当时，，即． 故当时，恒有． （4）函数的奇偶性、周期性：为奇函数恒成立；为偶函数恒成立；为周期函数恒成立. 【例10】（2007年·宁夏卷·理14)设函数为奇函数，则 ． 〖解析〗因为函数为奇函数，所以恒成立，即 恒成立恒成立恒成立，故． 2. 分离参数法 将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或或恒成立的形式. 则恒成立的范围是的值域；恒成立；恒成立. 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解. 【例11】（2007年·山东卷·文15)当时，不等式恒成立