2013版高考数学专题辅导与训练配套课件：2.3导数的简单应用(湖北专供-数学文).ppt

第三讲 导数的简单应用 【考情快报】 　　(1)主要考查导数的几何意义,导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性,求函数的极值、最值等. 　　(2)常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查,题型多样，属中高档题目. 【核心自查】 一、主干构建 二、概念理解 1.导数的几何意义 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k= ________. 2.曲线的切线方程 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为______________________. 提醒：区分曲线在点P处的切线和曲线过点P的切线,前者点P为 切点,后者点P不一定为切点,求解时应先设出切点坐标. f′(x0) y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 3.函数的单调性与导数的关系 若函数y=f(x)在某区间内可导，则 (1)f′(x)＞0?f(x)为_______； (2)f′(x)＜0?f(x)为_______; (3)f′(x)=0?f(x)为常数函数. 提醒：f′(x)＞0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件, f′(x)≥0是函数f(x)为增函数的必要不充分条件. 增函数 减函数 三、重要公式 1．基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0; (2)若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=nxn-1; (3)若f(x)=sin x,则f′(x)=cos x; (4)若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x; (5)若f(x)=ax,则______________(a＞0)； (6)若f(x)=ex,则f′(x)=ex; (7)若f(x)=logax,则_____________(a＞0且a≠1); (8)若f(x)=ln x,则f′(x)= . 提醒：注意区分函数f(x)=ax与f(x)=logax的导数. f′(x)=axln a f′(x)= 2．导数的四则运算 (1)［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x); (2)［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3) ′= (g(x)≠0). 热点考向 一 导数的几何意义 【典例】1.(2012·广州模拟)直线y= x+b是曲线y=f(x)= ln x(x＞0)的一条切线，则实数b=________. 2.(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切 线方程为_______. 【解题指导】1.根据导数的几何意义求出切点坐标,再代入直 线方程求b值. 2.通过求导得切线斜率，根据点斜式确定切线方程，最后将方程化为一般式. 【解析】1.设切点坐标为(x0,y0),则f′(x0)= = , ∴x0=2,y0=ln2,又切点也在直线y= x+b上, 则b=ln2-1. 答案:ln2-1 2.y′=3lnx+4，故y′｜x=1=4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1)，化为一般式方程为4x-y-3=0. 答案：4x-y-3=0 【互动探究】若题1条件不变，求过切点且与切线y= x+b垂直 的直线. 【解析】由题1解析知切点为(2,ln2). 又∵直线与切线垂直，∴斜率k=-2, ∴直线方程为y-ln2=-2(x-2)， 即2x+y-ln2-4=0. 【拓展提升】 利用导数的几何意义的解题策略 利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解. 热点考向 二 利用导数研究函数的单调性 【典例】1.(2012·合肥模拟)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是( ) (A)f(sin A)＞f(cos B) (B)f(sin A)＜f(cos B) (C)f(sin A)＞f(sin B) (D)f(cos A)＜f(cos B) 2.(2012·洛阳模拟)已知函数f(x)＝(－ax2－2x＋a)·ex(a∈R)． (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)在[－1，1]上单调递减，求实数a的取值范围． 【解题指导】1.首先根据导函数的图象判断单调性,再根据 sin A,cos B的大小判断f(sin A),f(cos B)的大小. 2.(1)通过解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0求解; (2)转化为不等式在[－1，1]上恒成立问题. 【解析】1.选A.由导函数图象可知， x＞0时，f′(x)＞0，即 f(x)单调递增，又△ABC为锐角三角形，则A+B＞ ，即