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第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差及相关系数 矩、协方差矩阵 §1 数学期望 §2 方差 四、切比雪夫不等式 一、协方差 * * 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 一、数学期望的定义 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 定义 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 且 ， 则称 为随机变量X的数学期望。 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。 解： 定义 若X~f(x), -?x?, 为X的数学期望。 则称 1、0-1分布B(1, p) EX=1×p+0×(1-p)=p； 2、二项分布B(n, p) 二、几个重要的随机变量的数学期望 3、泊松分布π(λ) 4、均匀分布U(a, b) 5、指数分布e(?) 6、正态分布N(?, ?2) 设随机变量X的分布律为 解: Y的分布律为 求随机变量Y=X2的数学期望。 X Pk -1 0 1 Y Pk 1 0 三、随机变量函数的期望 定理 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)的期望 定理 若(X, Y) ~ P{X=xi ,Y=yj,}= pij, i, j=1, 2, … , 则Z= g(X，Y)的期望 若X~f(x), -?x?, 则Y=g(X)的期望 若(X, Y) ~f (x, y), -?x?, -?y?, 则Z=g(X, Y)的期望 例 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)。 解: 1、E(C)=C, C为常数; 四、数学期望的性质 2、E(cX)=cE(X), c为常数； 3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 证明:以连续型随机变量为例，设(X,Y)~f(x,y)，则 4、若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 证明: 同样，以连续型随机变量为例，设 (X,Y)~f(x,y)，则 例 设随机变量 均服从 求随机变量 的数学期望 解: 分布， 例 若X~B(n,p),求E(X) 解:设 则 因此 方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。 如何定义？ 一、方差的定义 定义 若E(X),E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2, 为随机变量X的方差，记为D(X), 或Var(X)。 称 为随机变量X的标准差。 可见 推论 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 证明: D(X)=E[X-E(X)]2 例 设随机变量X的概率密度为 (1)求D(X), (2)求D(X2)。 解： 1、D(C)=0； 2、D(aX)=a2D(X), a为常数； 证明: 二、方差的性质 3、 特别地，若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y); 1、二项分布B(n, p) 三、几个重要的随机变量的方差 设 则 且 2、泊松分布π(?) 而 两边对?求导得 3、均匀分布U(a, b) 4、指数分布e(?) 5、正态分布N(?, ?2) 例 设活塞的直径 X~N(22.40,0.032), 气缸直径Y~N(22.50,0.042), X与Y 相互独立。任取一只活塞和一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。 例 已知随机变量X1, X2, …, Xn 相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+…+Xn ，求E(Y2)。 定理 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意??0，有 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 解: 由切比雪夫不等式 它有等价形式 定义 若随机变量X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称 Cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]} 为X与Y的协方差。 特别地，当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。 “X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？ §3 协方差及相关系数 易见 Cov(X,Y)=E(XY)? E(X)E(Y)。 设(X, Y)在D={(X, Y)：x2+y2?1}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。 (1) Cov(X,Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,c)=0 (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中