10实验10线性方程组及向量正交化.doc

实验十 线性方程组及向量的正交化 已知，计算的秩，并计算的基础解系。 In[ ]:= Out[ ]= {{1,1,1,1},{1,0,-1,1},{3,1,-1,3},{3,2,1,3}} In[ ]:= MatrixForm[A] Out[ ]//MatrixForm= In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixForm Out[ ]//MatrixForm= (* 从中可以看出,矩阵A的秩是2 *) In[ ]:= NullSpace[A] Out[ ]= {{-1,0,0,1},{1,-2,1,0}} In[ ]:= MatrixForm[%] Out[ ]= (*A 的两个线性无关解 *) 2、解方程组 In[ ]:= a={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}} b={1,4,6} LinearSolve[a,b] Out[ ]= {{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}} Out[ ]= {1,4,6} {} (* 方程组的一个特解 *) In[ ]:= NullSpace[a] Out[ ]= {{-21,-1,-10,8}} (* 基础解系只有一个解向量 *) In[ ]:= x=c %[[1]]+%% Out[ ]= {} (* c为任意实数 *) 3、求下列矩阵的秩 （1） In[ ]:= Out[ ]= {{2,1,-1,1,1},{3,-2,1,-3,4},{1,4,-3,5,-2}} In[ ]:= RowReduce[A]//MatrixForm Out[ ]//MatrixForm= (* 矩阵A的秩为 2 *) （2） In[ ]:= Out[ ]= {{1,1,-3,-4,1},{3,-1,1,4,3},{1,5,-9,-8,1}} In[ ]:= RowReduce[B]//MatrixForm Out[ ]//MatrixForm= (* 矩阵B的秩为 3 *) 4、解下列线性方程组 （1） 方法一:直接利用Solve函数 In[ ]:= Solve[{x1-2x2+x3+x4==1,x1-2x2+x3-x4==-5,x1-2x2+x3+5x4==5}, {x1,x2,x3,x4}] Out[ ]= { } (*此方程组无解*) 方法二:用LinearSolve ,NullSpace函数 In[ ]:= b={1,-5,5} LinearSolve[a,b] NullSpace[a] Out[ ]= {{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}} Out[ ]= {1,-5,5} LinearSolve::nosol: Linear equation encountered which has no solution. More… LinearSolve[{{1,-2,1,1},{1,-2,1,-1},{1,-2,1,5}},{1,-5,5}] Out[ ]= {{-1,0,1,0},{2,1,0,0}} (*原方程没有特解*) (*从而原方程无解*) （2） In[ ]:= b={2,3,0,1/3} LinearSolve[a,b] NullSpace[a] Out[ ]= {{1,-2,-1,-2},{4,1,2,1},{2,5,4,-1},{1,1,1,1}} Out[ ]= {2,3,0,} Out[ ]= Out[ ]= {{-1,-2,3,0}} In[ ]:= x=c %[[1]]+%% Out[ ]= 另解: In[ ]:= Solve[{x1-2x2-x3-2x4==2,4x1+x2+2x3+x4==3,2x1+5x2+4x3-x4==0, x1+x2+x3+x4==1/3},{x1,x2,x3,x4}] Solve::svars: Equations may not give solutions for all solve variables.More.. Out[ ]= (* x3为一个自由未知量,求出了解 *) 5、已知，验证：。 In[ ]:= Out[ ]= {{4,-1,1},{-4,7,-1},{6,-7,8}} Out[ ]= {{4,1,-9},{5,7,4},{-4,-1,6}} In[ ]:= Det[A.B] Det[A]×Det[B] Out[ ]= -10764 Out[ ]= -10764 6、利用施密特正交化方法进行单位正交化，并验证 a={1，-2，2}