2007年浙江省高中数学竞赛A卷(附参考答案).doc

同学们，星座学习季卡新鲜出炉了哦，十二个可爱守护星任你挑选，每张学习卡包涵了三个月的全科学习内容。购买服务热线：400-88-77727 2007年浙江省高中数学竞赛Ａ卷（附参考答案） 　　一、 　　1.，则使的的取值范围为（　　） 　　　　A. ??B. ???C. ???D. ?　　 ，且。 　　　　。 　　　　要使。当时，，即；当时，，此时无解。 　　　　由此可得， 使的的取值范围为。　　应选Ｂ。 　　2.，，则＝　（　　　） 　　　　A. ??B. Ｒ ??C.　? 　 D. 　　　　解： 　　　　　　 　　　　　没有实数可以使上述不等式成立。故。从而有　。　　　应选Ｃ。 　　3.为六条棱长的四面体个数为　（　　　） A. 2 　　B. 　3 　　　? C.　4　　 D. 　6　 解：以这些边为三角形仅有四种：，，，。 固定四面体的一面作为底面： 当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即； 当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，。 其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。　　　　应选　Ｂ。 　　4.169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（　　）种。 A. 89 　　B. 90 　 ?C.　91　　 D. 92　 　　解：若取出的３个数构成递增等比数列　，则有。由此有。当固定时，使三个数为整数的的个数记作。由，知应是的整数部分。 　　， 　　,，,, 　　,. 。　　应选Ｃ　 　　5.构成以Ａ为直角顶点的等腰直角三角形，其中，则△ＡＢＣ的面积为（　　） 　A. ?B. 　 　 C.　1　　 D. 　　 　　　解：依题意，，。 　　　△ＡＢＣ的面积为。　应选Ａ。 　　6.2007重的末二位数字是　（　　　） 　　A. 01 B. 　07 　　　 C.　43　　 D. 49　 　　　　解：记　ｋ重。题目要求的末二位数。 　　　　　　其中Ｍ为正整数。由此可得的末二位数与的末二位数字相同。首先来观察的末二位数字的变化规律。 2 3 4 5 6 7 8 9 的末二位数字 49 43 01 07 49 43 01 07 　　　　　　 　　为奇整数） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（为正整数） 　　　　　　　因此，与的末二位数字相同，为43。　　　　　应选　　Ｃ。 　　二、 　　7.为的单调递增数列，且满足，则　　。 　　解： 　　 　　（由题意可知取正号。） 因此，公差为２的等差数列，即。从而可得。　　答案为。 　　8.为方程的根（），则　　　　。 　　解：　由题意，。由此可得 　　　，，以及　。 　　　　。 　　　　答案为：。 9.　设均为非负实数，则　 　　的最小值为　　　　　　　　　　　。 解：　在直角坐标系中，作点，，， 　　　　，。则 　　Ｉ＝ 　　　＝＋＋＋　　　（应用三角不等式） 　　＋＋＝2007。 如果取，即，那么Ｉ取到最小值2007。答案为　2007。 　　10.是定义在Ｒ上的奇函数，且满足；又当时， 　　　，则＝　　　　　　　　　　　。 　　解：依题意，，即是以４为周期的周期函数。 　　因为当时，，且为奇函数，所以当时，。 　　此时有　。可得。又因为是以４为周期的周期函数， 　　所以也有，（）。　　　答案为　　（）。 　　11.，则不超过的最大整数为　　　　　　　。 　　解：　 　　 , 　　 , 　　, 　　, 　　的最大整数为。　　　答案为　。 　　12.，且，则整数组为　　　　　　　　。 　　解：方程两边同乘以８，得。　因为，所以要使左边为奇数，只有，即。 　　则。要使左边为奇数，只有，即。从而有　，即。 　　故有。　　答案为　。 　　三、 　　13.?? 和点。过点任作直线，交抛物线于B,C两点。 （１）?? 形式； （２）?? ，，满足。试证：。 　　解：（１）设过的直线方程为。又设，，联立方程组， 　　消去，得。从而有， ，。?? ………… 5分 　　设△ＡＢＣ的重心坐标为，则 　　　　　　 　　消去ｋ，即得　。?????????????????????????? …………10分 　　（２）因为，，所以 ， 　　　上式右边等号成立当且仅当。假设，则 ，?? …………15分 　　　上式右边等号成立当且仅当。由此得到（）。从而有 ??? 。????? …………20分 　　14.?? 及非负实数满足条件 　　求的最小值，并论证之。 　　解：根据，有????????????? ?????…………5分 　　 ????????? ………… 10分 　　　　　　　　（） 　　?????????? 15分 　上式取等号当且仅当　。???? ………… 20分 　　15.?? ，为子集。若，且存在，，，则称为“好集”。求