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2.2.2导数的 几何意义 高二数学 选修2-2 第二章 变化率与导数 * 温故知新 导数的定义 其中：⑴ 其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。 其几何意义是什么？ x o y y=f(x) 设曲线C是函数y=f(x)的图象， 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一 点Q(x0+△x,y0+△y) ,过P,Q两点作割 线， 当点Q沿着曲线无限接近于点P 点P处的切线。 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极 限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 △x △y P Q T 此处切线定义与以前的定义有何不同？ 讲授新课 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 x o y y=f(x) P(x0,y0) Q(x1,y1) M △x △y 探讨与交流：割线与切线的斜率有何关系呢？ 即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率， 当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT，则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 想一想： （1）图中过点B的切线有几条？ （2）图中过点C的切线有几条？ （3）过原点O的切线是什么？ 答案：（1）1条； （2）2条；（3）x轴. 导数的几何意义的应用 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 . 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: 练习：（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数. （2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 导数的几何意义的应用 例1:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 O P 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 例2．求过点( ，6)且和抛物线y=x2相切的切线方程。 解：点( ，6)不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x02)，因为 又因为此切线过点( ，6)和点(x0，x02), 所以此切线方程的斜率为2x0， 所以 即x02－5x0+6=0， 解得x0=2，或x0=3， 所以切线方程为y=4x－4或 y=6x－9. 练习：设f(x)为可导函数,且满足 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率. 故所求的斜率为-2. 导数的几何意义的应用 x y o P Q M 为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？ 课后思考题： Q 布置作业： 1、课本37习题2——2A组第3,4题和B组 第2题 2、《步步高40分钟课时训练》 课后反思：（1）本节课继导数的概念之后继续探讨导数的几何意义，由于学过瞬时变化率的几何意义，所以学生理解比较容易；（2）本节课的难点内容是切线的定义，由于涉及极限概念，所以理解有一定困难，建议对比圆的切线定义讲解；（3）本节课文字理解内容较多，建议做进一步精简，最后一个练习未做，留给学生课后完成；（4）第二章教材编排体系不太合理，建议将平均变化率和瞬时变化率合为一节课，重点放在瞬时变化率上，然后导数的概念和导数的几何意义各为一节较好。