“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） 1．的解的个数为（ ）． （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4 答：（A）． 解：若≥0，则于是，显然不可能． 若，则 于是，解得，进而求得． 所以，原方程组的解为只有1个解． 故选（A）． 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）． （A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20 （B）为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（ ）． （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 答：（B）． 解： 如图，连接BE，因为△为锐角三角形，所以，均为锐角．又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等，且为两圆的公共弦，所以．于是，． 若△的外心为，则，所以，⊙一定过△的外心． 故选（B）． 4．已知三个关于x的一元二次方程 ，， 恰有一个公共实数根，则的值为（ ）． （A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 答：（D）是它们的一个公共实数根，则 ，，． 把上面三个式子相加，并整理得 ． 因为，所以． 于是 ． 故选（D）5．的整数解（x，y）的个数是（ ）． （A）0 （B）1 （C）3 （D）， 因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解． 故选(A). 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，在直角三角形ABC中，，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ． 答：4． 解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而 ． 因此，这两部分面积之差的绝对值是4． 7．如图, 点A，C都在函数的图象上，点B，D都在轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ． 答：（，0）． 解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE＝，CF＝，所以，点A，C的坐标为 （，），（2＋b，）， 所以 解得 因此，点D的坐标为（，0）． 8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点，则的取值范围是 ． 答：≤，或者． 解：分两种情况： （Ⅰ）因为二次函数的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以 ， 得． 由，得，此时，，符合题意； 由，得，此时，，不符合题意． （Ⅱ）令，由判别式，得． 当时，，不合题意；当时，，符合题意． 综上所述，的取值范围是≤，或者． 9．如图，，则n＝ ． 答：6． 解：如图，设AF与BG相交于点Q，则 ， 于是 ． 所以，n＝6． 10．已知对于任意正整数n，都有 ， 则 ． 答：． 解：当≥2时，有 ， ， 两式相减，得 ， 所以 因此 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点． （1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系； （2）的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：． 解：（1）设点P的坐标为，则 PM＝; 又因为点P到直线的距离为， 所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切． …………5分 （2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由（1）因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是 ， 所以 ， 因此，